2011 年辽宁预赛 · 第 8 题

解答

直线为 $y=\sqrt{3}(x-1)$，与抛物线联立得 $3(x-1{)}^2=4x$，即 $3x^2-10x+3=0$，两根为3和 $1/3$。故 $A=(3,2\sqrt{3})$、$B=(1/3,-2\sqrt{3}/3)$，且 $F=(1,0)$。向量等式的纵坐标给出 $2\sqrt{3}\lambda -2\sqrt{3}\mu /3=0$，即 $\mu =3\lambda$；横坐标给出 $3\lambda +\mu /3=1$，所以 $\lambda =1/4,\mu =3/4$。于是 $\boxed{{\mu }^2-{\lambda }^2=1/2}$。