2014 年中科大少年班初试 · 第 6 题

解答

当 $q=1$ 时，$a_n={\sum }_{k=1}^{n-1}k{p}^k$。若 $p=1$，则 $a_n=n(n-1)/2$；若 $p\ne 1$，对该和乘 $p$ 后相减，再求等比和，得到

对于一般 $q$，由 $a_1=0$ 归纳展开为

设 $r=|p|<1$。当 $|q|<1$ 时，$|q{|}^{n-1-k}\le 1$，因此

这给出与 $n$ 无关的有限上界，故 $\{|a_n|\}$ 有界。