数列与函数的极限

实数列趋于 $L$，是指每个 $\epsilon >0$ 都能找到正整数 $N$，使全部 $n\ge N$ 满足 $|x_n-L|<\epsilon$。阈值可以依赖误差，却不能随尾项另选。例如 $x_n=1/n$、误差 $1/10$ 时，选 $N=11$ 即够；证明一般误差时可选整数 $N>1/\epsilon$。有限次接近不能代替整个尾部接近。

柯西条件不预先指定极限点，而是要求每个 $\epsilon >0$ 都有共同阈值，使任意 $m,n\ge N$ 的距离小于误差。若两实数列各自柯西，分别把误差限为 $\epsilon /2$，再取两个阈值的最大值，三角不等式便控制和序列。这里无需先求两列的极限，也不能分别用两个阈值却忘了让两种估计同时成立。

若不同点之间的距离总不小于某个固定 $\delta >0$，柯西条件中取 $\epsilon =\delta$ 就迫使尾项间距离为零，因此尾部恒定。通常汉明距离统计不同坐标的个数，如二进制字 $0101$ 与 $0111$ 的距离为 $1$，与 $1100$ 的距离为 $2$。此时可取误差一。一般度量空间未必有这样的正间隔，不能照搬结论。

对素数 $p$，若非零有理数 $r=p^{s}u/v$ 且 $p$ 不整除 $uv$，定义 $|r{|}_p=p^{-s}$；零的范数为零。比如 $|18/5{|}_3=1/9$，而 $|5/9{|}_3=9$。于是 $3^n$ 到零的三进距离趋于零，通常实数距离却增大。要区分两种距离是否等价，可检验同一个序列对同一个候选极限的收敛判断是否一致。

若整数差被 $p^s$ 整除，其 $p$ 进范数就不超过 $p^{-s}$；精确赋值不一定必需。二项式展开可证明：$p^s\mid u-1$、$s\ge 1$ 时，$p^{s+1}\mid u^p-1$。归纳时包括 $p=2$ 的空中间和。例如 $3^2-1=8$ 的二进赋值为 $3$，高于只要求至少为 $2$ 的下界，不能把整除下界误写成精确等式。

相邻因子经常能约消，但必须先保留有限乘积与起止下标。例如 ${\prod }_{k=2}^4(1-1/k^2)=5/8$；分成两条相邻整数比的乘积后，可以推广出有限端点式。对数求和可先合并成正数的乘积，再做同样约消。最后应用极限运算或对数连续性；不能因每个远端因子趋于一，就断言整个乘积趋于一。

对固定实数 $r$，$|r|<1$ 时 $r^n\to 0$；$r=1$ 时恒为一，$r=-1$ 时随奇偶振荡。这三类在幂的有限和中必须先分清。绝对值大于一的底数另需分析，不能套入这三类。例如 $(-1/2{)}^n$ 虽变号仍趋零，而 $(-1{)}^n$ 不收敛。只有求和项数固定时，才可直接逐项取极限；若有 $n$ 项、每项均为 $1/n$，总和一直为一，不能把各项趋零当作和趋零。

连续非负递减函数的等分右端点和不大于曲线下面积，左端点和不小于面积；若严格递减，每个有限分割的两侧都严格。两和之差是 $[f(0)-f(1)]/n$。例如 $f(x)=1-x$、$n=4$ 时，两和为 $3/8$、$5/8$，面积为 $1/2$。若一个固定数也落在所有这样收缩的区间中，它到面积的距离小于区间宽度，因而只能等于面积。