2022 年福建预赛

椭圆参数弦的面积范围

F4解答题椭圆

已知椭圆

C : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > b > 0)

的离心率为 $\frac{1}{2}$ ， $A_{1}, A_{2}$ 分别为椭圆 $C$ 的左、右顶点， $F_{1}, F_{2}$ 分别为椭圆 $C$ 的左、右焦点， $B$ 为椭圆 $C$ 的上顶点，且 $△ B A_{1} F_{1}$ 的外接圆半径为 $\frac{2 21}{3}$ 。

（1）求椭圆 $C$ 的方程；

（2）设与 $x$ 轴不垂直的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $P, Q$ 两点（ $P, Q$ 在 $x$ 轴的两侧）。记四条直线

A_{1} P, P A_{2}, A_{2} Q, Q A_{1}

的斜率依次为 $k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4}$ 。已知

k_{1} + k_{4} = \frac{5}{3} (k_{2} + k_{3}),

求 $△ F_{2} PQ$ 面积的取值范围。

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

解析

为什么评为 F4（会透露解法方向）

先由外接圆尺度求椭圆，继而用两端点有理参数分出竖直分支与固定积分支；面积极值恰落在已排除的竖直分支，必须回查可达性才能给开区间。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：用实参数表示后求全局最值

专题卡：三角参数与单变量化

2022 年福建预赛

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