2016 年河南预赛 · 第 11 题

解答

（1）记 $AM,AN,BN$ 的斜率分别为 $u,w,v$，题设为 $v=9u\ne 0$。椭圆上同一点到左右顶点的两割线斜率积为 $-9/25$，所以 $w=-9/(25v)$，从而 $uw=-1/25$。从左顶点出发，斜率 $u$ 的另交点为 $x=5(9-25u^2)/(9+25u^2),y=90u/(9+25u^2)$；对 $w$ 同理。因此两点弦方程为 $(1-25uw/9)x/5+(5/9)(u+w)y=1+25uw/9$。代入 $uw=-1/25$ 可知它恒过 $\boxed{G=(4,0)}$。（2）$G$ 在 $AB$ 内，非水平动弦把 $A,B$ 分在两侧，它们到动弦的距离比为 $9:1$，所以 $S_1-S_2=8S_2$。而 $G$ 恰为右焦点，若动弦方向角为 $\theta$，令 $s=|\sin \theta |$，两焦半径相加给弦长 $L=90/(9+16s^2)$。点 $B$ 到弦距离为 $s$，故面积差 $4Ls=360s/(9+16s^2)$，其中 $0<s\le 1$。该函数导数为 $360(9-16s^2)/(9+16s^2{)}^2$，最大值在 $s=3/4$，得到 $\boxed{\max (S_1-S_2)=15}$。