2012 年安徽预赛 · 第 11 题

解答

记 $P(x)=x^2+1$，题设即 $f\circ P=P\circ f$。比较最高次系数得 $f$ 首项系数为1。又左边为偶多项式，故 $f(-x{)}^2=f(x{)}^2$。多项式环无零因子，所以 $f(-x)=f(x)$ 或 $f(-x)=-f(x)$。由于 $\mathrm{deg}f=2^m$ 为偶数，只能为偶多项式。 因此可写成 $f(x)=g(x^2)=h(x^2+1)$，其中 $h(u)=g(u-1)$，且 $\mathrm{deg}h=\mathrm{deg}f/2$。代回交换关系，得

非零多项式与非恒定多项式复合仍为非零，故 $h\circ P=P\circ h$。重复降次 $m$ 次，最后得到一次式 $L(x)=ux+v$。代入 $L(x^2+1)=L(x{)}^2+1$，比较系数得 $u=u^2$、$2uv=0$，因 $u\ne 0$，有 $u=1,v=0$。 反向复原可知唯一解为 $P$ 的 $m$ 次迭代。明确地，令 $F_0(x)=x$、$F_{j+1}(x)=F_j(x{)}^2+1$，则

迭代多项式的次数为 $2^m$，且与 $P$ 交换，所以确为解。