2022 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 10 题

解答

令 $x=a_1>0$，$y=b_1>0$，记 $S=a_3=b_3$。由数列条件，

对三个正数 $x/2,x/2,2y$ 使用算术几何平均不等式，得

因 $S>0$，约去 $S$ 得 $S^2\ge 27/2$，所以 $S\ge 3\sqrt{6}/2$。 等号当且仅当 $x/2=2y$，即 $x=4y$。代入 $x+2y=x^{2}y$，得

这些正数确实满足全部条件，故 $a_3$ 的最小值为 $\boxed{3\sqrt{6}/2}$。 此时