2022 年重庆预赛

解答

当 $\lambda =1/8$ 时，

又由 $a_1=1\le 4$ 及 $a_n\le 4\Rightarrow a_{n+1}=a_n^2/8+2\le 4$，数列单调且不超过 $4$，所以有界。

若 $\lambda >1/8$，方程 $x=\lambda x^2+2$ 的判别式 $1-8\lambda <0$，因而

对一切实数 $x$ 成立。此时 $a_n$ 严格递增；若它有上界，则应收敛到某个实数极限 $L$，并满足 $L=\lambda L^2+2$，矛盾。因此任何 $\lambda >1/8$ 都不合要求。 故最大值为