2011 年天津预赛 · 第 14 题

解答

题设等价于两个二次式 $(a\pm d)x^2+(b\pm e)x+(c\pm f)$ 在实数域非负。记 $u=a+d,v=a-d,w=c+f,z=c-f,\alpha =b+e,\beta =b-e$。全域非负给 $u,v,w,z\ge 0$，以及 ${\alpha }^2\le 4uw,{\beta }^2\le 4vz$；即使首项系数为0，线性项也只能为0，这些不等式仍成立。令 $D=4ac-b^2$、$E=4df-e^2$。则

两式合起来给 $D\ge E$ 且 $D\ge -E$，即