2011 年河北预赛 · 第 3 题

解答

记 $T=ab+bc+ac$。由约束，

柯西不等式给出 $0\le (a+b+c{)}^2\le 3$，从而 $-\frac{1}{2}\le T\le 1$。为证整个区间均能取得，取正交单位向量

并令 $(a,b,c)=e\cos \theta +v\sin \theta$，其中 $0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$。此时三元组的模平方恒为1，且

当 $\theta$ 从0变化到 $\frac{\pi }{2}$ 时，上式连续取遍 $[-\frac{1}{2},1]$。故值域为 $\boxed{[-\frac{1}{2},1]}$。