易混 2026 年云南预赛 · P006111
两题都把集合成员条件变成不等式，但量词决定最后取交还是取并。一个集合包含于另一解集，要求每个成员都通过检验；存在某个离散参数使成员条件成立，则只需进入一个对应解集。先把量词译清楚，才能选择最坏输入或逐参数合并。
前题利用可取端点给全称条件的必要界，再证全域充分；后题先列尽离散参数，再合并各参数允许的点，不能强求一个点同时满足全部参数。
培玉 · 一试
2024 年浙江预赛
F2填空题解不等式
设集合
集合
若 ，则实数 的取值范围为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
先解分式不等式得到 。
思路
由于 的右端点 属于 集合，代入即可得到参数的必要条件；再直接比较 与其在右端点处的值，验证 该条件也充分。
解答
由
并注意 ，得
若 ，由于 ，必有 ，所以
即
反过来，若 ，则对任意 ，有 ，从而
于是
即 。因此 。
故所求范围为
复核
当 时， 使二次式等于 ，而 中其余元素使二次式小于 ， 故边界可以取到。若 ，则 但 ，包含关系立即失效， 所以参数范围没有遗漏。
方法总结
要使一个区间型集合包含于含参不等式的解集，实质上要求该不等式在整个区间恒成立。 先利用区间中可取到的端点给出必要条件，再通过因式分解或单调性证明充分性，通常比 完整求出含参二次不等式的解集更简洁稳定。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
先得A=(1/2,1]，右端点给m≤-3，再用(1-x)(x+3)≥0验证整段，常规模型明确。
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