2024 年福建预赛

思路

基本不等式 $e^y\ge 1+y$ 对所有实数y成立，等号仅y=0；可由指数函数凸性或求导证明。连续函数异号区间内存在零点。

想法从哪来：含指数、对数与参数时直接二次求导未必容易判号。先把对数真数换成一个正变量，观察指数项t乘指数的对数，正好是“ln t加常数减t”；它也出现在剩余的线性与对数部分。这提示把整段看作一个新指数变量的标准非负式，而不是逐项估计。先在参数的特定值完成这一配对，再把一般参数视为多出的一项正变量倍数。充分性由符号立即得到，必要性则要找特定参数下实际取等的正点；用连续性和中间值定理证明确有该点，才能让参数偏移造成负值。

令 $t=x+2>0$，把 $m=1$ 时的函数整理成标准非负式 $e^y-1-y$；参数 $m$ 只留下关于 $t$ 的一次修正项。