2026 年甘肃预赛

加权范数的最值

F2填空题向量的数量积与几何意义

泛函分析中，范数是向量“长度”的推广，是该领域的基础概念。现定义平面向量 $a = (x, y)$ 的“Rickie 范数”：

∥ a ∥_{R} = x^{2} + 2 y^{2} .

设 $M, N$ 分别为椭圆

\frac{x ^{2}}{16} + \frac{y ^{2}}{8} = 1 与 \frac{x ^{2}}{36} + \frac{y ^{2}}{18} = 1

上两点，记 $OM = m, ON = n$ ，则

\frac{∥3 m - 4 n ∥ _{R}}{∥ m ∥ _{R} + 2∥ n ∥ _{R}}

的最大值为。

作答

分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。

为什么评为 F2（会透露解法方向）

定义中的x²+2y²在两椭圆上分别恒为16和36，伸缩后直接使用三角不等式，并取反向共线的两点达到上界。

用到的方法（会透露解法方向）