2020 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 10 题

思路

线性插值是按位置对两端值加权；相距两端互补的两个内部点，其函数值之和等于两端值之和。二项式定理给出 ${\sum }_{k=0}^m\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k}\right)=2^m$，两端组合数均为 $1$，须按实际端点权重扣除。

想法从哪来：式子里同时有取整、小数部分和组合数，逐点代入会很繁琐。先固定取整值，就会发现相邻整数之间其实是一条直线：小数部分只是两个端点数值的权重。因此应按单位区间分组，把每组等距点配对，组内总和只由两个端点决定。 分组时最容易把整数节点重复计数。可以先只数每段内部的等分点，再把内部整数点单独加一次；整个区间的两个外端点本来没有出现，应一直排除。组合数相加可用二项式定理，化简后两个参数只通过一个乘积联系。到此才使用整数性：先借另一参数的下界限制指数范围，再逐个检验整除。求出参数后交换位置，用同一求和式完成目标。

这是二项式系数节点间的线性插值，按每个单位区间对称配对求和。