2011 年辽宁预赛 · 第 13 题

存在解的参数问题可以先选一个实际可达的实变量，将原方程转成参数曲线的像集或水平线交点。代数根必须回到换元范围与平方前的分支，不能只凭判别式认作原方程的解。

一题参数有两条连续分支，另一题指数换元后只允许正变量和指定半圆弧；相切、端点与另一圆弧会改变最终答案。

两题都可先把交点条件整理成直线与一个标准二次曲线或指定弧段相交。用线性量的取值界判断零、一、两个交点后，还要回查原换元与分支，不能把所有代数交点一并计入。

一题指数换元只覆盖特定半圆弧，另一题定面积产生两条平行线并在整个椭圆上计点；两边允许的曲线范围不同。

根式或代换得到圆弧方程后，还要保留原式的符号限制；完整圆上的判别式条件可能把不属于原题的交点也算进去。可行弧与取等点需分别回验。

前题先留住平方前的非负条件，再用半圆根式控制一个变量；后题指数变量本来为正，只能取圆的一段，切线条件之外还要检查边界交点。