2022 年江西预赛

思路

平面图形正投影面积等于原面积乘法向与投影方向夹角余弦的绝对值。凸多面体各面的投影分前后两层，故投影轮廓面积为全部绝对面投影面积的一半。

想法从哪来：直观上面对一个面似乎投影最大，但正四面体转动时可能同时看到多个面的更大合影。应先把投影面积写成可见各面面积的投影之和；闭合凸体的前、后两层投影各覆盖一次，所以也可用全部面的绝对投影面积除二。四个面同面积，只剩四个外法向量在投影方向上的分量。用对称坐标可算出这些分量平方和与方向无关，于是柯西把绝对值和统一压住。等号要求四个绝对分量相等，再据此选对棱中点连线方向，而不是只给一个数值上界；这个方向能实际让投影达到所算面积。

正投影面积等于朝向投影方向的可见面投影面积之和。用四个面的单位法向量表示后，问题归结为四个方向余弦绝对值之和的最大值。