2022 年中科大少年班复试 · 第 1 题

解答

因 $A=2C$，有 $B=\pi -3C$、$0<C<\pi /3$。令 $u=2\cos C\in (1,2)$，正弦定理给 $a/c=u$、$b/c=4{\cos }^{2}C-1=u^2-1$。由 $a=1$ 得 $c=1/u,b=(u^2-1)/u$，所以 $b(b+c)=u^2-1=1$。由正区间只得 $u=\sqrt{2}$，于是 $C=B=\pi /4,A=\pi /2$，$b=c=1/\sqrt{2}$。面积为 $bc/2=\boxed{1/4}$。