2013 年湖南预赛 · 第 12 题

解答

（1）切线是 $x{x}_0/a^2+y{y}_0/b^2=1$，法向为 $(x_0/a^2,y_0/b^2)$。过 $F=(-c,0)$ 的法线为 $\boxed{a^2{y}_0(x+c)-b^2{x}_{0}y=0}$，其中 $x_0,y_0$ 不同时为零。（2）任取切线外法向单位向量 $\mathbf{n}=(\cos \theta ,\sin \theta )$，椭圆支撑线为 $\mathbf{n}\cdot X=h$，其中 $h=\sqrt{a^2{\cos }^2\theta +b^2{\sin }^2\theta }$；该式可由缩放到单位圆后的柯西不等式得到，且等号给唯一切点。垂足为 $H=F+(h+c\cos \theta )\mathbf{n}$。计算有 $|H{|}^2=c^2+h^2-c^2{\cos }^2\theta =a^2$。还须核覆盖：$h^2-c^2{\cos }^2\theta =b^2>0$，故 $h+c\cos \theta >0$。当 $\mathbf{n}$ 遍历所有方向时，$FH$ 就是该方向射线；因 $F$ 严格在圆 $|X|=a$ 内，每条射线与圆恰有一个正向交点。所以全圆都能得到，轨迹为 $\boxed{x^2+y^2=a^2}$。