2021 年中科大少年班初试 · 第 5 题

解答

设 $e_i$ 为从位置 $i$ 首次到达 $n$ 的剩余步数期望。对 $n\ge 1$，从任一位置连续向前，至多 $n$ 步就到达目标，其概率至少为 $2^{-n}$；由逐段比较几何尾概率，首次到达的期望有限，可写首步方程。

边界为 $e_n=0$、$e_0=1+e_1$。对 $1\le i\le n-1$，

令 $d_i=e_i-e_{i-1}$，边界给 $d_1=-1$，内部方程给 $d_{i+1}=d_i-2$，故 $d_i=-(2i-1)$。于是

所求期望为 $\boxed{n^2}$。