2017 年辽宁预赛 · 第 13 题

解答

令 $u=t^2>0$。在线段方向 $T+s(M-T)$ 中，已知交点 $M$ 对应根一，代入椭圆后另一根为 $s_E=(u+12)/(u+4)$。同理沿 $TN$ 的另一根为 $s_F=(u+12)/(u+36)$。两根都正，故 $S_{TEF}=s_E{s}_F{S}_{TMN}$。于是 $k=(u+4)(u+36)/(u+12{)}^2=1+16u/(u+12{)}^2$。由 $(u+12{)}^2\ge 48u$，得 $k\le 4/3$，等号在 $u=12$。所以 $\boxed{t=\pm 2\sqrt{3}}$ 时 $k$ 最大。