垫脚石（此题 → 相关题） 2023 年上海高中数学竞赛（高三卷） · P006754
先练习把两个竞争量的较小者压在它们的几何平均数之下，并寻找两量相等的配置。再加入参数时，仍要同时匹配比值估计的等号和两量平衡，不能只优化其中一个表达式。
前题额外的常数封顶在最优配置下不起作用；后题需要把平衡关系随参数一起确定。
培玉 · 一试
2011 年河南预赛 · 第 4 题
F2填空题不等式的证明
已知 ，若 表示 、 及 这三个数中的最小者，当 变化时， 的最大值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
要让几个数中的最小者尽量大，先给其中难处理的分式找上界。
思路
分母是两平方之和，用均值不等式可压成只与 a 有关的倒数；此时最小值受一增一减的两个量共同限制，平衡它们，再检查 b 能否同时让分式取等。
解答
由 及 ，可得
于是
当 时，，且 ，三个数的最小者恰为 。 所以 的最大值为 。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
最小者的最大值要同时控制各分支，先用均值不等式压住分式分支，再平衡一个递增量与倒数量的共同上界；取等时还须核固定常数分支没有更小。
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