2012 年河南预赛 · 第 9 题

解答

取 $A=(0,0,0),B=(2,0,0),C=(1,\sqrt{3},0),D=(-1,\sqrt{3},0)$。由 $AE=BE=\sqrt{2}$ 得 $E_x=1$，且 $E_y^2+E_z^2=1$；再用 $EC=2$ 得 $E_y=0,E_z=\pm 1$。取竖轴正向使 $E=(1,0,1)$，则面 $EAB$ 为 $y=0$，与底面 $z=0$ 垂直，完成第一问。第二问沿 $EC$ 取 $w=(0,\sqrt{3},-1)$，两半平面方向 $u=A-E=(-1,0,-1),v=D-E=(-2,\sqrt{3},-1)$。有 $w^2=4,u\cdot w=1,v\cdot w=4,u\cdot v=3$，所以垂棱投影的点积为二，平方模分别为 $7/4,4$。故 $\boxed{\cos (A-EC-D)=2/\sqrt{7}=2\sqrt{7}/7}$。