2017 年湖南预赛 · 第 3 题

解答

对椭圆 $x^2/A+y^2/B=1$，直线 $y=kx+d$ 的弦长平方由韦达为 $4AB(1+k^2)(A{k}^2+B-d^2)/(A{k}^2+B{)}^2$。这里 $A=8,B=4$，原弦的 $d^2=1$。选项 A、C 的斜率为 $-k$，截距平方为 $k^2$，在 $k=\pm 1$ 时可与原弦等长；选项 B 的截距为负一，始终等长。选项 D 的截距平方为四，与一恒不相同，当它截出两点时长度严格更短；在 $k=0$ 时它相切，也不可能等于原弦的正长度。因此选 $\boxed{\mathrm{D}}$。