2010 年安徽预赛 · 第 3 题

解答

设正八面体的棱长为 $1$，上下两个顶点为 $U,V$，赤道正方形的相邻顶点为 $A,B$，$M$ 是 $AB$ 的中点。 两个相邻面 $UAB,VAB$ 均为正三角形，故 $UM\perp AB$、$VM\perp AB$，所求二面角的平面角就是 $\angle UMV$。 又 $UM=VM=\sqrt{3}/2$。赤道正方形的中心到其顶点的距离为 $1/\sqrt{2}$，故每个四棱锥的高为 $\sqrt{1-1/2}=1/\sqrt{2}$，于是 $UV=\sqrt{2}$。 由余弦定理，

这里取八面体内部的二面角，而非外侧法向量间的锐角。