同一骨架 2023 年浙江预赛 · P006632
把两个平方和固定的量先合并成它们的和，再用平方恒等式消去乘积，整个目标就只剩一个变量；换元的真实像区间也是证明的一部分。
根式给出上半圆，正弦余弦受限在第一象限；两种像区间及分母禁值不同，不能照搬另一题的端点。
培玉 · 一试
2026 年上海预赛
上半单位圆代换求根式函数最值
F3解答题函数的值域
求函数
的最小值与最大值。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
把 看成单位圆上半圆的纵坐标。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
原式中的一次项和乘积项都能用 表示，从而把问题化成一个区间上的二次函数最值。
解答
由根式有意义知 。令
因为 遍历单位圆的上半圆，所以
又因 ，有
因此
函数 在区间 上严格递增，故
所以
复核
在 ，即 时取得； 在 时取得，两个端值都可达。 此外，对 ，
所以单调性不依赖近似计算。
方法总结
出现 、 及其乘积时，可把二者视为上半单位圆坐标。 若一次和与乘积同时出现，优先令 ，再用 降为一元函数。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
需识别x与sqrt(1−x²)的和为统一变量，特别将范围正确限制为[−1,sqrt2]后才能把目标当成递增二次式。
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