2008 年河北预赛 · 第 9 题

解答

设 $u=x^2+y^2$，则

由 $PA=PB+PC$，第一次平方并移项得

再次平方，

因此 $u-2y-3=0$，即 $x^2+(y-1{)}^2=4$。在该圆上 $T=-8y$，原来的非负条件要求 $y\le 0$。反过来，在这段圆弧上，$PB\cdot PC=4|y|=-4y$，所以 $T=2PB\cdot PC$，进而 $P{A}^2=(PB+PC{)}^2$；各距离非负，恢复原等式。因此轨迹为