2022 年贵州预赛

解答

移项得

若 $n$ 为偶数，则式 (1) 右端为偶数。并且它大于 $2$，故不可能是质数。

若 $n$ 为奇数，则 $n^2\equiv 1(\mathrm{mod}8)$。因为 $2^8\equiv 1(\mathrm{mod}17)$，所以

由 (1) 得

故质数 $p$ 只能等于 $17$。当 $n=1$ 时，原式确实给出 $p=17$。当奇数 $n\ge 3$ 时，$17^n-9n^2>0$，由 (1) 有 $p>17$，与 $17\mid p$ 矛盾。

综上，全部解为