2025 年浙江预赛

解答

$2025=(2210000{)}_3$。由 Lucas 定理，$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2025}{k}\right)\not\equiv 0(\mathrm{mod}3)$ 当且仅当 $k$ 的每一位均不超过 $2025$ 的对应三进制数位，因此这样的 $k$ 共有

个，故余数为 $0$ 的项有 $2026-18=2008$ 个。

对每个允许的三进制数位，模 $3$ 的系数是各位小组合数之积。两个顶端数位为 $2$，每一位取 $0,1,2$ 时相应因子为 $1,2,1$；另一个非零顶端数位为 $1$，下标数位取 $0$ 或 $1$ 时，相应因子均为 $1$。因此两个“2”数位中恰有 奇数个取 $1$ 时余数为 $2$，共有

项；其余 $18-8=10$ 项余数为 $1$。所以数目比为