培玉 · 一试

专题地图 › 不等式的证明

2021 年贵州预赛

F2解答题不等式的证明

已知数列 ${x_{n}}$ （ $n \in N_{+}$ ）满足 $x_{n} > 1$ ， $e$ 为自然对数的底数。记

A = x_{1} x_{2} \dots x_{n}, B = x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}, C = \frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} + \dots + \frac{1}{x _{n}} .

求证： $A^{2} < e^{B - C}$ 。

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

解析

为什么评为 F2（会透露解法方向）

取对数后目标直接归结到每个x上的2lnx小于x减1/x，作差求导即为平方非负。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：用导数或作差看单调性

专题卡：化成一个变量，或逐项估计再相加