2017 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 7 题

解答

若 $a>0$，则 $x^2+a{y}^2+a^2>0$，曲线没有实点，不可能具有题设焦距。因 $a\ne 0$，必有 $a<0$。令 $u=-a>0$，曲线方程化为

它是实轴沿 $y$ 轴的双曲线，半焦距的平方为 $u+u^2$。由焦距为 $4$，半焦距为 $2$，得

所以 $\boxed{a=(1-\sqrt{17})/2}$。