2012 年黑龙江预赛 · 第 22 题

解答

（1）$a=2$ 时 $f(1)=2,f^{\prime }(1)=-1$，切线为 $\boxed{y=-x+3}$。（2）$g^{\prime }(x)=x(3x-2)$，在 $[0,2]$ 上最大值为 $g(2)=1$，最小值为 $g(2/3)=-85/27$。两独立输入的最大差为 $112/27$，所以最大整数为 $\boxed{M=4}$。（3）在 $[1/2,2]$ 上 $g$ 的最大值仍为一，所求等价于对每个 $s$ 有 $a\ge H(s)=s-s^2\ln s$。$H^{\prime }(s)=1-s-2s\ln s$，其导数为 $-3-2\ln s<0$，且 $H^{\prime }(1)=0$，所以 $H$ 最大值为一。故 $\boxed{a\ge 1}$。