2021 年上海预赛

解答

先看首位小于 $2$ 的情形。首位为 $0,1$ 时，后七位的数码和分别为 $8,7$，共有

个。

首两位为 $20$ 时，第三位小于 $2$ 可取 $0,1$，对应后五位数码和为 $6,5$，共有

个。前三位为 $202$ 而第四位小于 $1$ 时，第四位只能为 $0$，后四位数码和为 $4$， 共有 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3}\right)=35$ 个。

前五位为 $20210$ 时，当前数码和为 $5$。剩余三位数码和为 $3$，第六位自然小于上界对应的 $4$， 共有 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=10$ 个。再与上界保持相等已不可能，因为第六位取 $4$ 会使数码和超过 $8$。 因此总数为