2023 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 7 题

解答

设正方形 $ABCD$ 的中心为 $O$，以 $OA$ 为单位长度，取空间直角坐标

两棱锥的顶点均在过 $O$ 的底面垂线上，设 $P=(0,0,p)$，$Q=(0,0,q)$，其中 $p,q\ne 0$。 由 $\angle PAQ=90^{\circ }$，

故 $pq=-1$，两顶点位于底面两侧。选择 $z$ 轴正向指向 $P$，便有 $p>0$，$q=-1/p$。 又 $AM=AC/4$，所以 $M=(1/2,0,0)$。

两直线的方向向量可取为

异面直线所成角采用不超过 $90^{\circ }$ 的夹角，故

由 $p^2+1/(4p^2)\ge 1$，得 $\cos \theta \le 2/3$。 当 $p=1/\sqrt{2}$、$q=-\sqrt{2}$ 时等号成立，且所构造的两个正四棱锥满足直角条件。 因此最大可能值为 $\boxed{2/3}$。