培玉 · 一试
2012 年辽宁预赛 · 第 15 题
F4解答题平面几何综合
如图，已知 是由圆 外一点 引出的两条切线， 分别是线段 的中点，直线 交 于 两点，点 在 与 之间， 交 于点 ，延长 交 于点 。
证明：四边形 为菱形。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
思路
反射保持圆及距离；两向量共线可用二阶行列式为零检验。韦达关系允许同时利用两个圆交点而不单独求根。
想法从哪来：从中点条件马上得到MN平行PB且长度等于它的一半，所以若Q恰是PB中点，菱形就几乎已经出现。问题因此转成证明ND经过那个中点。图形关于OP对称，提示把圆上的另一交点E反射到下方；若能证明这个反射点在PC上，它就是D，ND的方向便立刻确定。为实现这一点，取AB中点为原点、把半弦长归一化，两切点上下对称，圆方程只含一个参数。此时MN与圆交点的横坐标满足二次方程，证明反射点共线只需根和与根积，不必展开两个根式。最后再由直线相交求Q。
以接触弦中点建系，圆方程只含一个参数；用两根关系证明另一交点关于两切线的对称轴反射。
解答
相似归一化后取 ，其中 。切线垂直半径给圆心 ，圆方程为 。又 ，故 为 。设 横坐标分别为 ；因 在 之间，，并且
将 关于横轴反射得 ，它仍在圆上。计算
所以 就是 的另一圆点 。于是 为 ，与 相交得 。四点 构成平行四边形，且四边长均为 ，故 。
复核
负根由题给点序唯一指定为 ，没有交换两交点。 使两切线及中点构型非退化，求得的 是 的中点。
方法总结
对称圆上不必分别求出两个根；根和与根积足以识别所需的反射交点。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
接触弦中点建系后须保留割线点序，并用根和根积识别反射交点，从而证明另一边中点和四边相等。
已记下，谢谢！