2022 年甘肃预赛

解答

有

（1）若 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，则 $f^{\prime }(x)\ge 0$。当 $x>0$ 时，

当 $x<0$ 时，

令 $x\to 0^{+}$ 与 $x\to 0^{-}$，得到 $a\le 1$ 且 $a\ge 1$，故 $a=1$。反之，当 $a=1$ 时，

所以 $f$ 确在 $\mathbb{R}$ 上单调递增。因此

（2）① 由 (1)，$x=0$ 总是临界点。令

当 $a>1$ 时，$g^{\prime }(0)=1-a<0$，而 $g^{\prime \prime }(x)=e^x>0$ 且 $g(x)\to +\infty$ 当 $x\to +\infty$。因此除 $x_1=0$ 外，$g$ 在正半轴上恰有另一个零点 $x_2>0$，且 $g$ 在两个零点处变号，所以二者都是极值点。

第二个零点满足

对 $x>0$，

这里分子在 $x=0$ 时为 $0$，其导数为 $x{e}^x>0$。故 $x_2$ 随 $a$ 严格增大。由于 $x_1=0$，

② 记 $t=x_2>0$。由 $e^t=at+1$，

因此待证不等式等价于

当 $t\ge 2$ 时，(2) 左端不大于 $0$，右端不小于 $1$，结论成立。

当 $0<t<2$ 时，令

则 $H(0)=H^{\prime }(0)=0$，并且

因为 $0<t<2<\pi$ 且 $\sin t<t<t{e}^t$。所以 $H^{\prime }(t)>0$、$H(t)>0$，(2) 仍成立。故