2008 年湖北预赛 · 第 13 题

解答

设 $a^b=2^k\pm 1$，其中 $a,b\ge 2,k\ge 1$。所求数为奇数，故 $a$ 为奇数。 先看 $a^b=2^k-1$。$k=1$ 时右侧为一，不符合；$k\ge 2$ 时右侧模四为三，所以 $b$ 必为奇数，且 $b\ge 3$。分解

后一个因子为大于一的奇数，不可能整除二的幂，矛盾。因此此侧没有好数。 再看 $a^b=2^k+1$。若 $b$ 为奇数，分解 $2^k=(a-1)(1+a+\cdots +a^{b-1})$，后因子同样为大于一的奇数，矛盾。故 $b$ 为偶数，令 $c=a^{b/2}$，有 $(c-1)(c+1)=2^k$。两因子均为正偶数、差为二，各为二的幂，只能是二与四。因此 $c=3,k=3$，相邻好数为九。它确为 $3^2$，故全部好数是 $\boxed{9}$。