2023 年甘肃预赛

马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第 $n+1$ 次状态的概率分布只跟第 $n$ 次的状态有关，与第 $n-1,n-2,\dots$ 次的状态没有任何关系。现有甲、乙两个盒子，盒中都有大小、形状、质地相同的 $2$ 个红球和 $1$ 个黑球。从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行 $n$ 次操作后，记甲盒中黑球的个数为 $X_n$，甲盒中恰有 $1$ 个黑球的概率为 $a_n$，恰有 $2$ 个黑球的概率为 $b_n$。

1. (1)

   求 $X_1$ 的分布列；

2. (2)

   求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

3. (3)

   求 $X_n$ 的数学期望。