2015 年辽宁预赛 · 第 15 题

解答

方程左侧是偶函数；若仅有一个实根，该根必为零。因此 $a_{n+1}=2a_n+1$。由 $a_1=1$ 得 $\boxed{a_n=2^n-1}$；反过来，原方程成为 $x^2+(2a_n+1)(1-\cos x)=0$，两项非负，仅 $x=0$ 可行，故递推也充分。又 ${\log }_2(a_n+1)=n$，所以 $b_n=(1+1/n{)}^n$。当 $n\ge 2$，二项式中二次以上项的和小于 ${\sum }_{j=2}^{\infty }{2}^{1-j}=1$，这里使用 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j}\right)/n^j\le 1/j!\le 2^{1-j}$；$n=1$ 直接为二。故 $\boxed{b_n<3}$。最后 $c_n=n^2(2^n-1)$，加权几何和给 $\boxed{S_n=2^{n+1}(n^2-2n+3)-6-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$。