2021 年四川预赛

思路

幂参数构造把量级比较变成有限整数设计，仍要给具体阈值使严格反例成立；本题可取T>n。无需证明所有较小n均可行，证明n=4可行且全部n>=5失败即可确定最大值。

想法从哪来：乘积归一化与循环比值同时出现，先试最小的偶数环按奇偶位分组。 四元情形里，比值项可以按两个对角乘积归并，变成两个对角和与互反尺度的乘积；均值不等式随后能把两个和分别提取出来。 要排除所有更大 $n$，不宜为每个 $n$ 单独猜小数反例。试令 $a_i=T^{x_i}$，乘积条件变成指数和为0，左端最高增长由相邻指数差控制，右端由最大指数控制。于是设计一条总和为0、最高峰却高于全部相邻跳跃的循环指数列；在平缓位置插零就能扩展到任意更大长度。

先验证 $n=4$：奇数位与偶数位分组后，左端可完全因式分解。 要排除所有 $n\ge 5$，用 $a_i=T^{x_i}$ 把问题化为比较指数的最高次幂，并构造总和为零而相邻差受控的指数列。