2016 年黑龙江预赛 · 第 9 题

解答

设 $AB=a,BD=d$。折前可取 $B=(0,0,0),D=(d,0,0),A=(0,a,0)$，由平行四边形关系 $C=(d,-a,0)$。固定 $BCD$，将 $A$ 折到直二面角后可取 $A=(0,0,a)$。球心等距四点给 $O=(d/2,-a/2,a/2)$，因此 $R^2=d^2/4+a^2/2=(2d^2+4a^2)/8=1/8$。于是外接球面积为 $\boxed{\pi /2}$，选 A。