培玉 · 一试
2008 年安徽预赛 · 第 7 题
F2填空题二项式定理
7. 化简多项式
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
两层组合数可解释为先选 k 个再从中选 m 个，也可先固定那 m 个再选其余 k-m 个。
思路
按后一顺序改写能提取一个与求和指标无关的组合数；剩下的幂次数之和固定，正好是 x 与一减 x 的二项式展开。
解答
按组合数记号的通常范围，为整数且。对，由阶乘式有
令，利用二项式定理，原多项式等于
复核与方法总结
这是多项式恒等式，对所有实数成立，端点按多项式取值理解；当时，求和只有一项且值为。先把双重组合数拆为固定因子和单一组合数，便得到二项式展开。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
先将两层组合数拆成固定因子和单层组合数，移下标后识别二项式展开；端点按多项式恒等式处理。
已记下，谢谢！