同一骨架 2026 年湖北预赛 · P006029
两题都先把对数或指数外形还原为正整数幂等式，再逐素数比较指数，迫使未知底数具有严格的完全幂结构。只有先完成这一结构限制，后面的参数枚举或增长比较才有穷尽性。
一题由分数指数限制两个底数后作平方差配对，另一题由单一素数底数限制未知整数后比较指数参数。
培玉 · 一试
2024 年广西预赛
F3填空题数论
方程 的正整数解为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
比较两边质因数，先迫使 为 的幂。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
由 知 不含质因数 以外的质数，故设 。比较 的指数得
即 。直接验证 成立；而 均不成立， 时 严格递增，故没有其他解。因此
复核
，与左边相等。
方法总结
底数为质数的整数指数方程，可先用唯一分解限定未知数的质因数。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
先迫使x为3的幂，把方程转为3的m减7次幂等于m，再分小指数与单调增长阶段证明唯一性。
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