2022 年新疆预赛

解答

对任意满足 $1\le a\le b\le 4$ 的实数 $a,b$，有

当 $a=1,b=4$ 时等号成立，故 $M=7$。

另一方面，由 $b\ge a>0$，

而

所以 $\frac{3}{a}+b\ge 2\sqrt{3}$。当 $a=b=\sqrt{3}$ 时，条件 $1\le a\le b\le 4$ 成立且等号成立，故 $N=2\sqrt{3}$。

因此