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函数的图像与性质

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函数的图像与性质知识图谱

把定义域、对称关系和变化趋势转成可检验的函数等式。

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已有图谱带练，四题目标训练建设中；可先带练或直接挑战。

本专题核心公式速查

函数图像与性质题常把解析式藏在奇偶、对称、周期或单调条件中。训练的重点是把图像变换写成输入输出的等式，辨认哪些值可以消元、哪些输入能归回已知区间。遇到抽象函数，不额外假定连续或可导；遇到长和、迭代与根数，先找保持结构的短关系。

1. 先修与破题直觉 先复习定义域、函数值与坐标变换，把图像语言改写为输入输出关系。若 $f (x) = x^{2}$ ，则 $y = f (x + 1)$ 的最小值在 $x = - 1$ 取得：输入 $x + 1$ 此时才等于 $0$ 。破题先问变化发生在括号内还是括号外，再决定是横向平移还是纵向平移。

2. 核心条件辨析 奇偶性必须连同定义域检查。把 $g (x) = x^{3}$ 限制在 $[- 1, 2]$ 上，定义域不关于原点对称，不能称该限制函数为奇函数。周期 $T$ 要求 $T \neq = 0$ ，且在相应定义域上对所有输入有 $f (x + T) = f (x)$ ；仅验证两点函数值相等不能推出周期。没有连续、可导条件时，也不能凭草图补上这些性质。

3. 典型误区对比 “ $f (0) = 0$ 就是奇函数”不成立：实数域上的 $f (x) = x^{2}$ 满足 $f (0) = 0$ ，却是偶函数且不是奇函数。“ $f (x + 1)$ 向上移一格”也不成立：对 $f (x) = x^{2}$ ， $f (x + 1)$ 在 $- 1$ 处取最小值，而 $f (x) + 1$ 在 $0$ 处取最小值 $1$ 。对比输入的位置与输出的大小，避免把两种平移混在一起。

4. 方法迁移带练 把两个轴对称迁移成周期：设 $f$ 定义在 $R$ 上，且对任意 $x$ 有 $f (4 - x) = f (x)$ 、 $f (10 - x) = f (x)$ ，分别表示关于 $x = 2$ 、 $x = 5$ 对称。把第一种反射后的输入送入第二式，得 $f (10 - (4 - x)) = f (4 - x) = f (x)$ ，所以 $6$ 是一个周期，但未必是最小正周期。于是 $f (2027) = f (5)$ ，因为 $2027 = 6 \times 337 + 5$ 。

5. 分级真题实战 先做下方自测，区分对称、周期与单调各自的前提；再沿本页方法卡例题链接选题。基础轮用“把图像对称写成点变换”列等式；进阶轮用“合成平移后按周期归约”处理远处输入；综合轮用“沿有限轨道列值与回推”或“设计代入以锁定或抵消函数值”。按题页实际难度递进，卡住时先检查每次代入是否在定义域内，并写明求得的是一个周期还是最小正周期。

先修（培玉高中数学）：函数的概念及其表示函数的基本性质导数在研究函数中的应用

知识要点

复合式先看内层值域

由 $f (φ (t))$ 求函数时，先确定 $φ$ 能覆盖哪些输入；同一个输入有多个参数表示时，还要检查输出一致。例如 $f ((t - 1)^{2}) = ∣ t - 1∣$ 只确定 $x \geq 0$ 上的 $f (x) = x$ ，不能据此填写负数处的函数值。反过来数复合函数零点，也须确认内层是否一一对应。

中心对称就是互补函数值

图像关于 $(a, b)$ 中心对称，要求定义域在 $x \mapsto 2 a - x$ 下不变，并满足 $f (2 a - x) = 2 b - f (x)$ 。例如 $H (x) = (x - 1)^{3} + 2$ 关于 $(1, 2)$ 对称， $H (0) = 1$ 、 $H (2) = 3$ ，和为 $4$ 。对称中心的横坐标未必属于定义域；有极点的函数尤其要先检查这一点。

复合对称可以产生平移

关于两条竖直直线 $x = a$ 、 $x = b$ 的反射依次作用，横坐标平移 $2 (b - a)$ 。若一个关系保持函数值、另一个改变符号，还可能先得到反周期。例如奇函数又满足 $f (2 - x) = f (x)$ ，则 $f (x + 2) = - f (x)$ ，所以 $4$ 是周期；这不自动证明 $4$ 是最小正周期。

严格单调把函数比较还原为输入比较

严格递增函数满足 $F (u) > F (v) ⟺ u > v$ ；若再为奇函数，则 $F (u) + F (v) > 0 ⟺ u + v > 0$ 。例如 $F (t) = t^{3} + t$ ，不等式 $F (2 x - 1) + F (x) > 0$ 等价于 $x > 1/3$ 。若单调性只在某个区间成立，必须先把两个输入都放入该区间，不能跨段直接比较。

未知函数值可以作为代数未知量

出现 $f (x)$ 与 $f (- x)$ 、 $f (1/ x)$ 时，先按相应代换再写一次原式，常可得到小型线性方程组。例如 $f (x) + 2 f (- x) = 3 x$ 与其反向式联立，给 $f (x) = - 3 x$ 。代入原式左边为 $- 3 x + 6 x = 3 x$ 。消元时若要除以含参数因子，应另查其为零的点。

反函数与斜线反射要写成坐标变换

关于 $y = x$ 反射把 $(u, v)$ 变成 $(v, u)$ ；关于 $x + y = c$ 反射则变成 $(c - v, c - u)$ 。例如直线 $v = 2 u + 1$ 关于 $x + y = 1$ 反射后满足 $y = 1 + x /2$ ；取原点 $(0, 1)$ 的像 $(0, 1)$ 可作核验。曲线反射后能否仍写成函数，还须检查同一横坐标是否出现不同纵坐标。

周期计数要保留端点约定

周期为 $T > 0$ 时，各个半开区间 $[a + j T, a + (j + 1) T)$ 的零点数相同。若每周期有 $N$ 个零点，余段有 $r$ 个，则长区间计数为 $qN + r$ 且 $0 \leq r \leq N$ 。例如 $4 N + r = 14$ 可锁定 $N = 3, r = 2$ 。闭区间直接拼接会重复计算公共端点，不能不加检查就套用该式。

迭代的周期属于轨道

迭代是把上一步函数值作为下一步输入，与横坐标平移周期不同。对 $T (t) = 1/ (1 - t)$ ，从 $2$ 出发得到 $2, - 1, 1/2, 2$ ，各步分母都非零，故该轨道每三步重复， $T^{2026} (2) = - 1$ 。单个初值回到原点，只说明这条轨道周期，不能据此断言所有初值都有相同轨道或给原函数加上平移周期。

方法卡

图像翻折、旋转和对称：写出点的坐标怎么变，再求解析式或函数值

图像怎么动，就看图上一个点 $(u, v)$ 怎么动。写出它的新坐标，代回原来的式子，解析式和函数值都能求出来。

完整讲解 · 例题 · 可练 34 题

一、是什么

常用的坐标变化

点 $(u, v)$ 关于 $y$ 轴变成 $(- u, v)$ ，关于 $x$ 轴变成 $(u, - v)$ ，关于直线 $x = a$ 变成 $(2 a - u, v)$ ，关于点 $(a, b)$ 变成 $(2 a - u, 2 b - v)$ ，关于 $y = x$ 变成 $(v, u)$ ，关于 $y = - x$ 变成 $(- v, - u)$ ，关于 $x + y = c$ 变成 $(c - v, c - u)$ 。最后一条可以这样核对：两点的中点坐标之和是 $c$ ，所以中点在直线上；两点的差是 $(c - v - u, c - u - v)$ ，两个分量相等，方向与 $x + y = c$ 垂直。

求变换后的解析式：设新点，找回旧点

设新图像上的点是 $(x, y)$ ，反推它来自哪个旧点，再把旧点代入旧方程。例如求 $y = x^{2}$ 关于 $x = 1$ 对称后的图像：旧点是 $(2 - x, y)$ ，代入得 $y = (2 - x)^{2}$ 。这样做不容易把方向弄反。连续变换时，就按顺序一步一步写坐标。

旋转：先移到原点，转完移回

绕原点逆时针转 $9 0^{\circ}$ ： $(u, v) \to (- v, u)$ ；顺时针转 $9 0^{\circ}$ ： $(u, v) \to (v, - u)$ 。绕点 $(a, b)$ 转时，先把这个点移到原点，转完再移回去。例如点 $(3, 1)$ 绕 $(2, 1)$ 逆时针转 $9 0^{\circ}$ ：相对中心是 $(1, 0)$ ，转后是 $(0, 1)$ ，移回去得 $(2, 2)$ 。

从等式读出对称

$f (m + x) = f (n - x)$ 对所有 $x$ 成立，表示两个输入的中点总是 $\frac{m + n}{2}$ ，函数值相同，所以对称轴是 $x = \frac{m + n}{2}$ 。 $f (a + x) + f (a - x) = 2 b$ 表示对称中心是 $(a, b)$ 。 $y = f (x + 2)$ 关于 $y$ 轴对称，说明 $f (2 + x) = f (2 - x)$ ，即 $f$ 自身关于 $x = 2$ 对称。

先看一道例题

例 1：中心对称后的解析式

求曲线 $y = x^{2} + 1$ 关于点 $(1, 2)$ 对称后的曲线方程。

怎么看出来：

中心对称两个坐标都变，设新点，找回旧点。

解：

设新点为 $(x, y)$ ，它的旧点是 $(2 - x, 4 - y)$ 。代入旧方程： $4 - y = (2 - x)^{2} + 1$ ，所以 $y = 3 - (2 - x)^{2} = - x^{2} + 4 x - 1$ 。旧点的横坐标取全体实数， $x$ 也取全体实数。检查：旧点 $(0, 1)$ 变成 $(2, 3)$ ，代入新式 $- 4 + 8 - 1 = 3$ ，成立。

答案：

$y = - x^{2} + 4 x - 1$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
图像关于斜线对称，如 $x + y = c$	用 $(u, v) \to (c - v, c - u)$ ，不要当成普通偶函数
图像绕某点转 $9 0^{\circ}$	先移到原点，转完移回，再写新点与旧点的关系
$f (m + x) = f (n - x)$ 或 $y = f (x + a)$ 为偶函数	读成对称轴 $x = \frac{m + n}{2}$ 或 $x = a$
给了局部解析式和两种对称，要算远处函数值	写出合成后的点变化，把目标点送回已知段（见进阶“两种对称合成”）
方程 $f (x) + x = c$ 和 $f^{- 1} (x) + x = c$ 同时出现	交点关于 $y = x$ 成对，有 $x_{2} = c - x_{1}$ ；两个方程各只有一个解时，两解之和才一定等于 $c$ （见进阶“反函数”）
式子里有 $∣ g (x) ∣$ 或 $g (∣ x ∣)$	用翻折画图，分清翻的是上下还是左右（见进阶“绝对值翻折”）

三、怎么用

设旧点 $(u, v)$ ，新点 $(x, y)$ ，写出坐标关系。例如求 $y = x^{2}$ 关于 $x = 1$ 对称后的图像： $x = 2 - u, y = v$ 。
用 $x, y$ 表示旧点： $u = 2 - x, v = y$ 。
代入旧方程 $v = u^{2}$ ，得 $y = (2 - x)^{2}$ 。
写清定义范围： $u$ 取全体实数， $x = 2 - u$ 也取全体实数。
取一个点代回检查。 $x = 3$ 时 $y = (2 - 3)^{2} = 1$ ，对应旧点 $(- 1, 1)$ ，确实在 $y = x^{2}$ 上。这也是求函数值的办法：把目标点变回旧点再读数。

四、再做一道

例 2：绕点旋转

把直线 $y = 2 x - 1$ 绕点 $(2, 1)$ 逆时针旋转 $9 0^{\circ}$ ，求所得直线。

怎么看出来：

绕的不是原点，要先平移。

解：

旧点 $(u, v)$ 相对中心是 $(u - 2, v - 1)$ ，转后为 $(1 - v, u - 2)$ ，移回去得新点 $(x, y) = (3 - v, u - 1)$ 。所以 $v = 3 - x, u = y + 1$ 。代入 $v = 2 u - 1$ ： $3 - x = 2 y + 1$ ，即 $y = 1 - \frac{x}{2}$ 。检查： $(1, 1)$ 转到 $(2, 0)$ ，代入新式 $1 - 1 = 0$ ，成立；两直线斜率之积是 $- 1$ ，确实垂直。

答案：

$y = 1 - \frac{x}{2}$ 。

五、容易错在哪

只移动横坐标、忘了纵坐标，是最常见的错误。中心对称和斜线对称都会同时改变两个坐标。
$x + y = c$ 的对称会交换两个坐标，不能写成 $f (c - x) = f (x)$ 。
已知段是开区间时，端点的函数值并没有给出，不能自己补上。
$y = f (x - 2)$ 和 $y = f (2 - x)$ 彼此关于 $x = 2$ 对称，并不说明 $f$ 自身关于 $x = 2$ 对称。
求反射后的函数还要看定义范围。例如 $y = 3 - lo g_{2} (3 - x)$ 只在 $x < 3$ 有意义。

进阶：反函数 · 先修：反函数、指数函数、对数函数

图像旋转与反函数

$y = f (x)$ 绕原点逆时针转 $9 0^{\circ}$ ：新点 $(x, y) = (- v, u)$ ，所以 $v = - x, u = y$ ，由 $v = f (u)$ 得 $- x = f (y)$ ，即 $y = f^{- 1} (- x)$ 。这里要求不同输入对应不同输出，并且 $- x$ 在 $f$ 能取到的值之内。 $f^{- 1}$ 是反函数，就是由输出反找唯一的输入，它的图像是原图像关于 $y = x$ 的对称图形。若 $f (x) = x^{2}$ ，旋转后是 $x = - y^{2}$ ，同一个 $x$ 对应两个 $y$ ，就不是函数了。

互为反函数的两条曲线

两条曲线关于 $y = x$ 对称，而斜率为 $- 1$ 的直线 $x + y = c$ 也关于 $y = x$ 对称。所以直线与两条曲线的交点也成对：若 $(p, q)$ 是一个交点， $(q, p)$ 就是另一个，而且 $p + q = c$ 。分式曲线 $y = k + \frac{m}{x - l}$ 的对称中心是 $(l, k)$ ，反函数的中心是 $(k, l)$ 。例如 $y = 2 + \frac{3}{x - 1}$ 的反函数是 $y = 1 + \frac{3}{x - 2}$ ，中心从 $(1, 2)$ 变成 $(2, 1)$ 。

例 3：互为反函数的方程

$x_{1}$ 满足 $2^{x} + x = 3$ ， $x_{2}$ 满足 $lo g_{2} x + x = 3$ ，求 $x_{1} + x_{2}$ 。

怎么看出来：

$y = 2^{x}$ 和 $y = lo g_{2} x$ 互为反函数，两个方程都是在与直线 $x + y = 3$ 求交点。

解：

$2^{x} + x$ 严格递增，第一个方程只有一个解； $lo g_{2} x + x$ 在 $x > 0$ 上两项都严格递增，第二个方程也只有一个解。交点 $(x_{1}, 3 - x_{1})$ 在 $y = 2^{x}$ 上，它关于 $y = x$ 的对称点 $(3 - x_{1}, x_{1})$ 在 $y = lo g_{2} x$ 上，也在直线上，所以 $x_{2} = 3 - x_{1}$ 。验证： $x_{1} = 1$ 时 $2 + 1 = 3$ ， $x_{2} = 2$ 时 $1 + 2 = 3$ 。

答案：

$x_{1} + x_{2} = 3$ 。

进阶：多项式的对称轴

多项式的竖直对称轴

$(x + 1) (x + 2) (x + 4) (x + 5)$ 的四个根关于 $- 3$ 成对。把首尾和中间两组相乘： $(x^{2} + 6 x + 5) (x^{2} + 6 x + 8)$ 。其中 $x^{2} + 6 x = (x + 3)^{2} - 9$ ，所以整个式子只和 $(x + 3)^{2}$ 有关，对称轴是 $x = - 3$ 。

进阶：绝对值翻折

绝对值翻折

$y = ∣ g (x) ∣$ ：把 $x$ 轴下方的部分翻到上方，上方不动。 $y = g (∣ x ∣)$ ：保留 $x \geq 0$ 的部分，再关于 $y$ 轴复制到左边，原来左边的部分不要。例如 $g (x) = (x - 1)^{2}$ ，则 $g (∣ x ∣)$ 在 $x = - 1$ 处等于 $g (1) = 0$ ，而 $g (- 1) = 4$ 。

进阶：两种对称合成

两种对称合起来，会把点平移很远

先后做两次对称，再重复一次，常得到平移。例如图像关于点 $(3, 3)$ 和直线 $x + y = 0$ 都对称： $(u, v) \to (6 - u, 6 - v) \to (v - 6, u - 6)$ ，再做一次得 $(u - 12, v - 12)$ 。这说明 $f (x + 12) = f (x) + 12$ 。所以要找远处的函数值，就把目标点一步步变回已知的那段。

例 4：两种对称求远处函数值

函数 $y = f (x)$ 的图像既关于点 $(3, 3)$ 中心对称，又关于直线 $x + y = 0$ 对称。当 $0 < x < 3$ 时 $f (x) = \frac{x ^{2}}{3} - 9$ 。求 $f (7)$ 和 $f (19)$ 。

怎么看出来：

$x = 7$ 不在已知段。已知段上的函数值在 $(- 9, - 6)$ 内，而关于 $x + y = 0$ 对称会把函数值变成横坐标，正好可能落到 $7$ 。

解：

关于 $x + y = 0$ ： $(u, v) \to (- v, - u)$ 。要让 $- v = 7$ ，即 $v = - 7$ ：由 $\frac{u ^{2}}{3} - 9 = - 7$ 得 $u^{2} = 6$ ，取 $0 < u < 3$ 内的 $u = 6$ 。所以 $(6, - 7)$ 在图上，它的对称点 $(7, - 6)$ 也在图上， $f (7) = - 6$ 。再求平移：中心对称后接斜线对称得 $(u, v) \to (v - 6, u - 6)$ ，做两次得 $(u - 12, v - 12)$ ，反过来就是 $f (x + 12) = f (x) + 12$ 。所以 $f (19) = f (7) + 12$ 。

答案：

$f (7) = - 6$ ， $f (19) = 12 - 6$ 。

进阶：斜线对称求交点

例 5：斜线对称后再求交点

曲线 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 关于直线 $x + y = 4$ 对称，求所得曲线的方程，以及它与原曲线的交点。

怎么看出来：

对称轴是斜线，用坐标公式。交点问题写成方程后，看看解是否落在对称轴上。

解：

设新点为 $(x, y)$ ，旧点是 $(4 - y, 4 - x)$ 。代入 $y = \frac{1}{x}$ ： $4 - x = \frac{1}{4 - y}$ ，所以 $y = 4 - \frac{1}{4 - x}$ 。旧点要求 $4 - y > 0$ ，此时 $4 - x = \frac{1}{4 - y} > 0$ ，即 $x < 4$ 。求交点： $\frac{1}{x} = 4 - \frac{1}{4 - x}$ ，即 $\frac{1}{x} + \frac{1}{4 - x} = 4$ ，通分得 $\frac{4}{x ( 4 - x )} = 4$ ，所以 $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ ， $x = 2 \pm 3$ ，都在 $(0, 4)$ 内。因为 $\frac{1}{2 + 3} = 2 - 3$ ，两个交点的坐标之和都是 $4$ ，都在对称轴上。

答案：

所得曲线为 $y = 4 - \frac{1}{4 - x} (x < 4)$ ；交点为 $(2 + 3, 2 - 3)$ 和 $(2 - 3, 2 + 3)$ 。

真题

按这个方法练 · 34 题

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很远处的函数值和长求和：先找周期，再移回已知段

把题目给的关系连用几次，找到让函数值不变的平移量，就是周期。很远的输入按周期移回已知段；长求和按周期分组。

完整讲解 · 例题 · 可练 32 题

一、是什么

什么是周期，怎样从关系里推出

若对所有 $x$ 都有 $f (x + T) = f (x)$ ， $T > 0$ ，就说 $T$ 是一个周期。若 $a > 0$ ， $f (x + a) = - f (x)$ ，连用两次得 $f (x + 2 a) = - f (x + a) = f (x)$ ，周期是 $2 a$ 。这种一步变号、两步还原的关系叫反周期。同样， $f (x + a) = \frac{1}{f ( x )}$ 和 $f (x + a) = - \frac{1}{f ( x )}$ 连用两次也回到 $f (x)$ ，周期都是 $2 a$ ，这里函数值不能为 $0$ 。若给的是 $a < 0$ ，周期就写成 $2∣ a ∣$ 。

先把输入对齐

$f (x + 2) f (x - 3) = - 1$ 看起来不是平移关系。把 $x$ 换成 $x + 3$ ，得 $f (x + 5) f (x) = - 1$ ，即 $f (x + 5) = - \frac{1}{f ( x )}$ ，周期是 $10$ 。关系里输入不整齐时，先换元，让最小的输入变成 $x$ 。

移回已知段，带上符号

若 $f (x + 2) = - f (x)$ ，移 $k$ 步要乘 $(- 1)^{k}$ 。例如 $f (7.5) = - f (5.5) = f (3.5) = - f (1.5)$ ，移了 3 步，有一个负号。负数输入同样向已知段移动。移完一个完整周期才不带符号。

先看一道例题

例 1：反周期，移回已知段

对任意实数 $x$ ， $f (x + 3) = - f (x)$ ；当 $0 \leq x < 3$ 时 $f (x) = x^{2}$ 。求 $f (23)$ 。

怎么看出来：

一步变号，两步还原，周期是 $6$ 。

解：

连用两次： $f (x + 6) = - f (x + 3) = f (x)$ ，周期是 $6$ 。 $23 = 6 \times 3 + 5$ ，所以 $f (23) = f (5)$ 。 $5$ 不在 $[0, 3)$ ，再用一次关系： $f (5) = f (2 + 3) = - f (2) = - 4$ 。

答案：

$- 4$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
$f (x + a) = - f (x)$ ， $f (x + a) = \pm \frac{1}{f ( x )}$	$a \neq = 0$ 时连用两次，周期是 $2∣ a ∣$ ；有倒数时函数值不能为 $0$
$f (x + 3) f (x - 4) =$ 常数	先换元对齐输入，再连用两次
奇偶性再加一条对称或平移等式	把两条合起来，算出平移后函数值怎么变（见进阶“对称合成周期”）
$f (x + a) + k$ 是奇函数， $f (a x + b)$ 是偶函数	先翻译成中心和轴。偶函数那条要求 $a \neq = 0$ ，轴是 $x = b$ （见进阶“复合条件”）
$\sum k f (k)$ 这样带系数的长求和	按周期分组，每组算出含组号的和，再补尾项（见进阶“周期分组求和”）
已知周期和奇偶性，比较两个很远处的函数值	用周期和奇偶把两个输入折回同一个单调区间（见进阶“折回单调区间”）

三、怎么用

把条件写成同一个输入的平移。例如 $f (x + 2) = - f (x)$ ，当 $0 \leq x < 2$ 时 $f (x) = x + 1$ ，求 $f (7)$ 。
连用，直到函数值不变： $f (x + 4) = - f (x + 2) = f (x)$ ，周期是 $4$ 。
目标输入减去周期的整数倍： $f (7) = f (7 - 4) = f (3)$ 。
还没进已知段，就再用一次关系，带上符号： $f (3) = f (1 + 2) = - f (1) = - 2$ 。
一步一步走一遍检查： $f (7) = - f (5) = f (3) = - f (1) = - 2$ ，结果相同。

四、再做一道

例 2：输入不整齐的关系

对任意实数 $x$ ， $f (x + 2) f (x - 1) = 4$ ；当 $0 \leq x < 3$ 时 $f (x) = x + 1$ 。求 $f (- 13)$ 。

怎么看出来：

两个输入相差 $3$ ，先换元对齐，变成倒数型的关系。积是 $4$ ，所以函数值都不为 $0$ 。

解：

把 $x$ 换成 $x + 1$ ，得 $f (x + 3) f (x) = 4$ ，即 $f (x + 3) = \frac{4}{f ( x )}$ 。再用一次： $f (x + 6) = \frac{4}{f ( x + 3 )} = f (x)$ ，周期为 $6$ 。 $- 13 + 18 = 5$ ，所以 $f (- 13) = f (5)$ 。 $5$ 不在 $[0, 3)$ ，再用一次关系： $f (5) = f (2 + 3) = \frac{4}{f ( 2 )} = \frac{4}{3}$ 。

答案：

$\frac{4}{3}$ 。

五、容易错在哪

反周期不是周期。 $f (x + 2) = - f (x)$ 时周期是 $4$ ，不是 $2$ 。
周期分组时不能丢掉系数。 $\sum k f (k)$ 中的 $k$ 每组都在变。
推出 $T$ 是周期后，不要直接说它是最小正周期，除非另外证明了没有更小的。
$f (2 x + 3)$ 为偶函数给出的轴是 $x = 3$ ，不是 $x = \frac{3}{2}$ 。
用闭区间拼接数零点，公共端点会数两次。统一用左闭右开，再单独看最后一个端点。

进阶：对称合成周期

两个对称合成周期

下面都要求 $a \neq = b$ ，否则平移量是 $0$ ，不是周期。轴 $x = a$ 与轴 $x = b$ ： $f (x) = f (2 a - x) = f (2 b - 2 a + x)$ ，周期是 $2∣ b - a ∣$ 。中心 $(a, c)$ 与中心 $(b, c)$ ：周期也是 $2∣ b - a ∣$ 。中心 $(a, c)$ 与轴 $x = b$ ： $f (x + 2 (b - a)) = 2 c - f (x)$ ，一次平移还差一个常数，两次才还原，周期是 $4∣ b - a ∣$ 。奇函数相当于中心在原点，所以奇函数加上轴 $x = 1$ ，得 $f (x + 2) = - f (x)$ ，周期 $4$ 。

进阶：复合条件

条件藏在复合函数里

$f (x + 1) - 1$ 是奇函数：令 $g (x) = f (x + 1) - 1$ ，由 $g (- x) = - g (x)$ 得 $f (1 + x) + f (1 - x) = 2$ ，所以中心是 $(1, 1)$ 。 $f (2 x + 3)$ 是偶函数： $f (3 + 2 x) = f (3 - 2 x)$ ，令 $t = 2 x$ 得 $f (3 + t) = f (3 - t)$ ，所以对称轴是 $x = 3$ ，不是 $x = \frac{3}{2}$ 。

例 3：藏在复合条件里的对称

$f (x)$ 定义在 $R$ 上， $f (x + 1) - 1$ 是奇函数， $f (2 x + 3)$ 是偶函数， $f (0) = 3$ 。求 $f (2026)$ 。

怎么看出来：

两个复合条件分别给出中心和轴。中心加轴，会推出隔几步的关系和周期。

解：

由第一条得 $f (1 + x) + f (1 - x) = 2$ ，由第二条得 $f (3 + t) = f (3 - t)$ 。于是 $f (x + 4) = f (3 + (x + 1)) = f (3 - (x + 1)) = f (2 - x) = f (1 + (1 - x)) = 2 - f (1 - (1 - x)) = 2 - f (x)$ 。再用一次： $f (x + 8) = 2 - f (x + 4) = f (x)$ ，周期为 $8$ 。 $2026 = 8 \times 253 + 2$ ，所以 $f (2026) = f (2)$ 。在 $f (1 + x) + f (1 - x) = 2$ 中取 $x = 1$ ： $f (2) + f (0) = 2$ ，所以 $f (2) = - 1$ 。

答案：

$- 1$ 。

进阶：周期分组求和 · 先修：等比数列求和（只用于最后一题）

周期分组：权重要留着

$\sum_{k = 1}^{4 n} k f (k)$ 表示把 $k = 1, 2, \dots, 4 n$ 时的 $k f (k)$ 全部加起来。 $f (k)$ 按周期重复，但系数 $k$ 不重复。设 $f (1), f (2), f (3), f (4)$ 依次是 $1, 0, - 1, 0$ ，第 $j$ 组（ $j = 0, 1, \dots$ ）的和是 $(4 j + 1) - (4 j + 3) = - 2$ ，共 $n$ 组得 $- 2 n$ 。没有整组的部分单独加，叫尾项。

例 4：整周期加尾项

$f (x)$ 的周期为 $3$ ， $f (1) = 2, f (2) = 5, f (3) = - 1$ 。求 $f (1) + f (2) + \dots + f (100)$ 。

怎么看出来：

一共 100 项，函数值每 3 项重复，分组就行。

解：

每 3 项之和是 $2 + 5 - 1 = 6$ 。 $100 = 3 \times 33 + 1$ ，前 99 项之和是 $33 \times 6 = 198$ 。尾项 $f (100) = f (1) = 2$ 。

答案：

$200$ 。

例 5：权重按等比变化的周期求和

$f$ 定义在 $R$ 上， $f (x + 2) = - f (x)$ ， $f (1) = 1, f (2) = 3$ 。求 $k = 1 \sum 4 n 2^{k} f (k)$ ， $n$ 为正整数。

怎么看出来：

反周期给出周期 $4$ 。权重 $2^{k}$ 每组都在变，但相邻两组正好差 $16$ 倍，所以分组后是等比数列。

解：

$f (3) = - f (1) = - 1$ ， $f (4) = - f (2) = - 3$ ，周期为 $4$ 。第 $j$ 组（ $j = 0, \dots, n - 1$ ）是 $k = 4 j + 1, \dots, 4 j + 4$ ，提出公因数 $2^{4 j} = 1 6^{j}$ ： $1 6^{j} (2 \cdot 1 + 4 \cdot 3 + 8 \cdot (- 1) + 16 \cdot (- 3)) = - 42 \cdot 1 6^{j}$ 。等比数列 $1, 16, \dots, 1 6^{n - 1}$ 的和是 $\frac{1 6 ^{n} - 1}{15}$ ，所以总和为 $- 42 \cdot \frac{1 6 ^{n} - 1}{15} = - \frac{14 ( 1 6 ^{n} - 1 )}{5}$ 。检查 $n = 1$ ： $2 + 12 - 8 - 48 = - 42$ ，公式给 $- \frac{14 \times 15}{5} = - 42$ ，成立。

答案：

$- \frac{14 ( 1 6 ^{n} - 1 )}{5}$ 。

进阶：周期函数的零点

周期函数在一段里至少有几个零点

奇函数在 $x = 0$ 有定义时 $f (0) = 0$ 。若周期是 $T$ ，还有 $f (\frac{T}{2}) = f (- \frac{T}{2}) = - f (\frac{T}{2})$ ，所以 $f (\frac{T}{2}) = 0$ 。数零点时用左闭右开的段拼接，公共端点才不会数两次： $[0, 3)$ 上 $x (x - 1)$ 有零点 $0, 1$ ，按周期 $3$ 延拓后， $[0, 30)$ 有 $10 \times 2 = 20$ 个， $[0, 30]$ 再加上 $x = 30$ ，共 $21$ 个。

进阶：最小正周期

周期和最小正周期不一样

推出 $T$ 是周期，不等于 $T$ 最小。常函数甚至没有最小正周期。反过来，由 $f (x + 1) = - f (x)$ ， $1$ 通常不是周期：如果是，就有 $f (x) = f (x + 1) = - f (x)$ ，只能 $f$ 恒为 $0$ 。判断命题时要用这个思路。

进阶：折回单调区间

例 6：折回单调区间比较大小

$f (x)$ 是周期为 $4$ 的奇函数，在 $[0, 1]$ 上严格递增。比较 $f (7.3)$ 与 $f (- 4.4)$ 。

怎么看出来：

两个输入都不在 $[0, 1]$ 。先用周期移到 $[- 1, 1]$ ，负数再用奇性变到 $[0, 1]$ 。

解：

$f (7.3) = f (7.3 - 8) = f (- 0.7) = - f (0.7)$ 。 $f (- 4.4) = f (- 4.4 + 4) = f (- 0.4) = - f (0.4)$ 。 $0.4 < 0.7$ 且严格递增，所以 $f (0.4) < f (0.7)$ ，加负号后方向相反： $- f (0.7) < - f (0.4)$ 。

答案：

$f (7.3) < f (- 4.4)$ 。

真题

按这个方法练 · 32 题

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三次函数、分式和与成对求和：找对称中心，两两配对

若函数关于点 $(a, b)$ 中心对称，以 $a$ 为中点的两个输入，函数值之和总是 $2 b$ 。找到这个中心，长求和、交点之和、两方程之和都变简单。

完整讲解 · 例题 · 可练 28 题

一、是什么

中心对称等于互补

图像关于 $(a, b)$ 中心对称，意思是对定义域内的 $x$ ，有 $f (a + t) + f (a - t) = 2 b$ ，也可写成 $f (x) + f (2 a - x) = 2 b$ 。定义域也要关于 $x = a$ 对称。所以判断时要算两件事：定义域和这个和。

三次函数：平移消掉二次项

$f (x) = x^{3} + p x^{2} + q x + r$ 的对称中心横坐标是 $a = - \frac{p}{3}$ ，纵坐标是 $f (a)$ 。原因：令 $x = a + t$ ，二次项系数是 $3 a + p = 0$ ，只剩 $t^{3} + k t + f (a)$ ，而 $t^{3} + k t$ 是奇函数。例如 $x^{3} - 3 x^{2} + 5 x$ ： $a = 1$ ，代入得 $t^{3} + 2 t + 3$ ，中心 $(1, 3)$ 。

奇函数加常数

奇函数满足 $h (- x) = - h (x)$ 。 $x^{3} + a x + 5$ 是奇函数加 $5$ ，所以 $f (t) + f (- t) = 10$ ，中心 $(0, 5)$ 。

求和：首尾配对

采样点关于中心成对时，每一对贡献 $2 b$ 。项数为奇数时，中间那项单独算，它等于 $b$ （若中心横坐标在定义域内）。写法上可以把和倒过来再加一遍： $2 S = 项数 \times 2 b$ 。

先看一道例题

例 1：三次函数的中心用来求和

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 1$ ，求 $f (- 3) + f (- 2) + \dots + f (5)$ 。

怎么看出来：

输入 $- 3$ 到 $5$ 关于 $1$ 成对，而三次函数的中心横坐标正是 $- \frac{- 3}{3} = 1$ 。

解：

$f (1) = 1$ 。令 $x = 1 + t$ ，展开得 $t^{3} - t + 1$ ， $t^{3} - t$ 是奇函数，所以中心是 $(1, 1)$ ， $f (1 + t) + f (1 - t) = 2$ 。共 9 项： $- 3$ 与 $5$ ， $- 2$ 与 $4$ ， $- 1$ 与 $3$ ， $0$ 与 $2$ 配成 4 对，贡献 $8$ ；中间项 $f (1) = 1$ 。

答案：

$9$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
三次多项式，问中心或问 $f (a) + f (b)$	$a = - \frac{p}{3}$ ，平移消掉二次项
奇次项加常数，已知 $f (- 2)$ 求 $f (2)$	两值之和等于 2 倍常数
很多个输入相加，输入两两关于同一点对称	配成一对一对，每对贡献 $2 b$ ，单出的中间项另算
很多个 $\frac{x + k}{x + k + 1}$ 相加	拆成 $1 - \frac{1}{x + k + 1}$ ，极点首尾配对，常数给纵坐标（见进阶“分式配对”）
$g (\frac{1}{10}) + g (\frac{2}{10}) + \dots$ ，输入等距	试 $g (t) + g (首尾和 - t)$ 是不是常数（见进阶“分式配对”）
两个长得很像的三次方程，问 $x + y$	凑成同一个函数，用中心和严格单调（见进阶“中心加严格单调”）
$f (x) + f (2 a - x) = 2 b$ 与另一曲线求交点，问坐标和	检查另一曲线是否同中心，交点成对（见进阶“同中心交点”）

三、怎么用

猜中心。例如 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 5 x$ ， $a = - \frac{- 3}{3} = 1$ ， $f (1) = 3$ ，猜中心 $(1, 3)$ 。
验证互补。令 $x = 1 + t$ ，得 $f = t^{3} + 2 t + 3$ ； $t^{3} + 2 t$ 是奇函数，所以 $f (1 + t) + f (1 - t) = 6$ 。
把目标配对。求 $f (- 1) + f (0) + f (1) + f (2) + f (3)$ ： $- 1$ 与 $3$ 、 $0$ 与 $2$ 各配一对，贡献 $2 \times 6 = 12$ 。
项数为奇数时单独算中间项： $f (1) = 3$ ，总和 $15$ 。
逐项核对： $f (- 1) = - 9, f (0) = 0, f (1) = 3, f (2) = 6, f (3) = 15$ ，和为 $15$ 。

四、再做一道

例 2：奇函数加常数：最大值与最小值之和

$f (x) = 3 + \frac{x}{x ^{2} + 1}$ ， $x \in [- 5, 5]$ 。设它的最大值（所有函数值中最大的）为 $M$ ，最小值为 $m$ ，求 $M + m$ 。

怎么看出来：

减掉常数 $3$ 后是奇函数，它的最大值和最小值互为相反数。

解：

设 $h (x) = \frac{x}{x ^{2} + 1}$ ， $x^{2} + 1 > 0$ 。由 $(x - 1)^{2} \geq 0$ 得 $x^{2} + 1 \geq 2 x$ ，两边除以 $2 (x^{2} + 1)$ ，得 $h (x) \leq \frac{1}{2}$ ， $x = 1$ 时取等。由 $(x + 1)^{2} \geq 0$ 得 $x^{2} + 1 \geq - 2 x$ ，两边除以 $2 (x^{2} + 1)$ ，得 $h (x) \geq - \frac{1}{2}$ ， $x = - 1$ 时取等。 $\pm 1$ 都在 $[- 5, 5]$ 内，所以 $h$ 的最大值是 $\frac{1}{2}$ ，最小值是 $- \frac{1}{2}$ ，正好是一对相反数，因为 $h (- x) = - h (x)$ 。于是 $M = 3 + \frac{1}{2}$ ， $m = 3 - \frac{1}{2}$ 。

答案：

$M + m = 6$ 。

五、容易错在哪

分式和只找到分母零点的中点，却漏掉拆出来的常数，就会把纵坐标写错。
项数为奇数时，中间项只出现一次，不能把它也算进一对。
分式函数的中心横坐标可能让分母为 $0$ ，此时不能写 $f (a) = b$ 。
由 $f (u) + f (v) = 2 b$ 推出 $u + v = 2 a$ 必须先证严格单调。
用奇函数之前，要确认定义域关于原点对称。

进阶：用导数找中心 · 先修：导数

用导数找中心

如果学过导数，可以这样找中心。对三次函数 $f (x) = x^{3} + p x^{2} + q x + r$ ，二阶导数（导函数的导函数） $f^{''} (x) = 6 x + 2 p$ 。解 $f^{''} (x) = 0$ ，得中心横坐标 $a = - \frac{p}{3}$ ，中心为 $(a, f (a))$ 。

进阶：分式配对

分式和：先拆常数，再看极点

$\sum$ 表示把指定下标的项全部加起来，例如 $\sum_{j = 1}^{3} \frac{1}{x + j} = \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x + 3}$ 。先看三项，记它为 $R (x)$ 。分母为 $0$ 的点（极点）是 $- 1, - 2, - 3$ ，中点是 $- 2$ ，所以把 $x$ 换成 $- 4 - x$ ： $R (- 4 - x) = \frac{1}{- 3 - x} + \frac{1}{- 2 - x} + \frac{1}{- 1 - x} = - \frac{1}{x + 3} - \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 1} = - R (x)$ 。逐项看，第 $1$ 项变成第 $3$ 项的相反数，第 $2$ 项变成自己的相反数，第 $3$ 项变成第 $1$ 项的相反数。一般情形相同： $\frac{x + k}{x + k + 1} = 1 - \frac{1}{x + k + 1}$ ，所以 $f (x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{x + k}{x + k + 1} = (n + 1) - \sum_{j = 1}^{n + 1} \frac{1}{x + j}$ 。极点 $- 1, \dots, - (n + 1)$ 的中点是 $a = - \frac{n + 2}{2}$ ，把 $x$ 换成 $- (n + 2) - x$ ，第 $j$ 项变成第 $n + 2 - j$ 项的相反数，和变号。所以纵坐标就是拆出来的常数 $b = n + 1$ 。

例 3：分式型配对求和

设 $g (x) = \frac{x ^{2}}{x ^{2} + ( 1 - x ) ^{2}}$ ，求 $g (\frac{1}{10}) + g (\frac{2}{10}) + \dots + g (\frac{9}{10})$ 。

怎么看出来：

输入首尾和是 $1$ ，而式子里 $x$ 和 $1 - x$ 的地位对称，试 $g (x) + g (1 - x)$ 。

解：

分母 $x^{2} + (1 - x)^{2}$ 总是正的，把 $x$ 换成 $1 - x$ 时分母不变。所以 $g (x) + g (1 - x) = \frac{x ^{2} + ( 1 - x ) ^{2}}{x ^{2} + ( 1 - x ) ^{2}} = 1$ 。 $j$ 与 $10 - j$ 配对， $j = 1, 2, 3, 4$ 共 4 对，贡献 $4$ 。中间项 $g (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$ 。

答案：

$\frac{9}{2}$ 。

例 4：分式和的中心用来求值

$f (x) = \frac{2 x - 1}{x - 2} + \frac{x - 1}{x - 4}$ 。求图像的对称中心，并求 $f (0) + f (1) + f (5) + f (6)$ 。

怎么看出来：

先拆常数。拆完后两个分式的系数相同时，极点才能配对。

解：

$\frac{2 x - 1}{x - 2} = 2 + \frac{3}{x - 2}$ ， $\frac{x - 1}{x - 4} = 1 + \frac{3}{x - 4}$ ，所以 $f (x) = 3 + \frac{3}{x - 2} + \frac{3}{x - 4}$ 。极点 $2, 4$ 的中点是 $3$ 。把 $x$ 换成 $6 - x$ ： $\frac{3}{4 - x} + \frac{3}{2 - x} = - \frac{3}{x - 4} - \frac{3}{x - 2}$ ，变成相反数，所以 $f (x) + f (6 - x) = 6$ ，定义域在这个变换下也不变。 $0$ 与 $6$ 、 $1$ 与 $5$ 各配一对。检查： $f (0) = \frac{3}{4}, f (6) = \frac{21}{4}$ ， $f (1) = - 1, f (5) = 7$ ，每对之和都是 $6$ 。

答案：

中心 $(3, 3)$ ；所求之和为 $12$ 。

进阶：指数和对数的配对 · 先修：指数函数、对数函数

指数和对数里的奇函数

常见的隐藏奇函数还有 $ln (x^{2} + 1 + x)$ 、 $3^{x} - 3^{- x}$ 、 $\frac{1}{a ^{x} - 1} + \frac{1}{2}$ （要求 $a > 0, a \neq = 1, x \neq = 0$ ）。最后一个可以这样验证： $\frac{1}{a ^{- x} - 1} = \frac{a ^{x}}{1 - a ^{x}} = - 1 - \frac{1}{a ^{x} - 1}$ ，再加 $\frac{1}{2}$ ，正好是原式的相反数。

指数和对数的互补对

$a > 0$ 时， $g (t) = \frac{a ^{t}}{a ^{t} + a}$ 满足 $g (t) + g (2 - t) = 1$ 。把 $g (2 - t)$ 的分子分母同乘 $a^{t - 1}$ ，得 $\frac{a}{a + a ^{t}}$ ，和 $g (t)$ 相加分子分母相等。又如 $0 < x < 1$ 时， $h (x) = lo g_{2} \frac{x}{1 - x}$ ， $h (x) + h (1 - x) = lo g_{2} 1 = 0$ 。

进阶：同中心交点

两个图像同中心：交点也成对

若两个图像关于同一点 $(a, b)$ 中心对称，交点 $(x, y)$ 的对称点也是交点。交点共 $n$ 个时， $\sum x_{i} = na$ ， $\sum y_{i} = nb$ 。同样，图像关于 $x = a$ 对称且有 $n$ 个零点时，零点之和是 $na$ 。

例 5：直线穿过中心：交点成对，中心自己算一个

曲线 $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 1$ 与直线 $y = 3 x - 2$ 的交点为 $(x_{i}, y_{i})$ ，求 $\sum (x_{i} + y_{i})$ 。

怎么看出来：

先求曲线的中心，再看直线是否经过它。经过时，直线也关于这个点对称，交点就成对。

解：

曲线中心是 $(1, 1)$ （令 $x = 1 + t$ ， $y = t^{3} - t + 1$ ）。直线在 $x = 1$ 时 $y = 1$ ，经过中心，所以直线也关于 $(1, 1)$ 中心对称。交点中，中心自己算一个，其余两两关于中心对称，共 3 个时 $\sum x_{i} = 3$ ， $\sum y_{i} = 3$ 。解方程核对：直线写成 $y = 1 + 3 t$ ，方程 $t^{3} - t + 1 = 1 + 3 t$ ，即 $t (t^{2} - 4) = 0$ ，所以 $t = 0, \pm 2$ ，交点为 $(1, 1), (3, 7), (- 1, - 5)$ ，坐标之和分别是 $2, 10, - 6$ 。

答案：

$6$ 。

进阶：中心加严格单调

两个方程求和：中心加严格单调

若 $f (u) + f (v) = 2 b$ ，由中心对称得 $f (2 a - v) = 2 b - f (v) = f (u)$ 。 $f$ 严格单调时，只能 $u = 2 a - v$ ，即 $u + v = 2 a$ 。没有严格单调，这一步不成立。

例 6：中心加严格单调解不等式

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 5 x + 1$ ，解不等式 $f (x) + f (2 x) > - 4$ 。

怎么看出来：

右边 $- 4$ 可能正好是 2 倍纵坐标。求出中心，就能把两个函数值之和变成比较输入。

解：

中心横坐标 $- 1$ ， $f (- 1) = - 2$ 。令 $x = - 1 + t$ ，得 $f = t^{3} + 2 t - 2$ 。设 $h (t) = t^{3} + 2 t$ ，它是严格递增的奇函数，且 $f (u) + 2 = h (u + 1)$ 。不等式变为 $h (x + 1) + h (2 x + 1) > 0$ ，即 $(x + 1) + (2 x + 1) > 0$ 。检查： $x = 0$ 时 $1 + 1 > - 4$ ，成立； $x = - 1$ 时 $f (- 1) + f (- 2) = - 2 - 5 = - 7$ ，不成立； $x = - \frac{2}{3}$ 时两边相等。

答案：

$x > - \frac{2}{3}$ 。

真题

按这个方法练 · 28 题

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高次迭代、递推和闭环方程：从起点列值，找到循环

不必求一般公式。从给定的数出发，一步一步算下一个，很快会回到见过的数；有了循环，第 2026 步也只是求余数。

完整讲解 · 例题 · 可练 11 题

一、是什么

什么是迭代

$f_{n} (x)$ 表示把 $f$ 连着用 $n$ 次，上一步的结果作为下一步的输入。约定 $f_{0} (x) = x$ ， $f_{1} (x) = f (x)$ 。它和平移周期不一样：平移周期说的是横坐标 $x$ 与 $x + T$ ，迭代说的是一串数 $x, f (x), f (f (x)), \dots$ 。

有循环就求余数

$T (v) = \frac{1}{1 - v}$ 从 $2$ 出发： $2 \to - 1 \to \frac{1}{2} \to 2$ 。第 0、1、2 步分别是 $2, - 1, \frac{1}{2}$ ，每 3 步重复，第 $n$ 步看 $n$ 除以 $3$ 的余数。先把序号写清楚，序号错一位，答案就错。这个循环只属于从 $2$ 出发的这串数，别的起点可能不同。

循环前可能有前缀

开头几步可能不在循环里。例如例 2 的 $5 \to 8 \to 4 \to 2 \to 1 \to 4$ ， $5, 8$ 不再出现，循环是 $4, 2, 1$ 。这时从第 2 步开始数循环，叫做有前缀。

分段函数每步看段

每算一步，先判断当前的数落在哪段。两层复合也一样： $f (x) = 2 (x < 1)$ ， $f (x) = 0 (x \geq 1)$ 。 $x < 1$ 时 $f (f (x)) = f (2) = 0$ ； $x \geq 1$ 时 $f (f (x)) = f (0) = 2$ 。

先看一道例题

例 1：找循环求余数

$T (v) = 1 - \frac{1}{v}$ ， $T_{n}$ 表示连用 $n$ 次。求 $T_{2027} (2)$ 。

怎么看出来：

只问一个起点，直接列值。

解：

$T_{0} = 2, T_{1} = \frac{1}{2}, T_{2} = - 1, T_{3} = 2$ ，每 3 步重复，各步分母都不为零。 $2027 = 3 \times 675 + 2$ ，所以等于 $T_{2}$ 。

答案：

$- 1$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
$f_{2026} (x_{0})$ ， $f$ 的具体式子给了	从 $x_{0}$ 列值，找循环，求余数
分段函数的迭代	每一步先判断落在哪段，分段边界单独看
$f (f (x))$ 与分段函数	先算内层函数值，再按它所在的段算外层
$a_{n + 1} = \frac{1 + a _{n}}{1 - a _{n}}$ 这类分式递推	列几项看循环，乘积和求和都按整组算（见进阶“分式递推”）
$f (x)$ 和 $f (g (x))$ 在同一方程，且 $g$ 多次作用后回到原处	列出箭头，在闭环上联立解函数值（见进阶“函数方程闭环”）
求 $f$ 与 $f^{- 1}$ 的交点	解 $q = f (p), p = f (q)$ ，别只解 $f (x) = x$ （见进阶“函数与反函数的交点”）

三、怎么用

约定第 0 项是起点，写出箭头串。例如 $T (v) = \frac{1}{1 - v}$ ，求 $T_{5} (2)$ ：第 0 项是 $2$ 。
一步步算： $T_{1} = \frac{1}{1 - 2} = - 1$ ， $T_{2} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$ ， $T_{3} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2$ 。
某个数再次出现，就确定了循环： $T_{3} = T_{0}$ ，循环长度是 $3$ ，没有前缀。
用余数算目标。 $5 = 3 + 2$ ，所以 $T_{5} = T_{2} = \frac{1}{2}$ 。有前缀时，先减去前缀的步数，再除以循环长度。
再多算一圈核对： $T_{4} = - 1$ ， $T_{5} = \frac{1}{2}$ 。每一步的分母都不为零。

四、再做一道

例 2：分段迭代，循环前有前缀

对正整数 $x$ ， $f (x) = \frac{x}{2}$ （ $x$ 为偶数）， $f (x) = x + 3$ （ $x$ 为奇数）。 $f_{n}$ 表示连用 $n$ 次，求 $f_{100} (5)$ 。

怎么看出来：

分段函数，每一步先看当前的数是奇数还是偶数。

解：

$5$ 是奇数，得 $8$ ； $8$ 是偶数，得 $4$ ； $4$ 是偶数，得 $2$ ； $2$ 是偶数，得 $1$ ； $1$ 是奇数，得 $4$ 。所以 $f_{1} = 8, f_{2} = 4, f_{3} = 2, f_{4} = 1, f_{5} = 4$ 。从第 2 步起循环，循环是 $4, 2, 1$ ，长度 $3$ ，前缀是 $5, 8$ 。 $100 - 2 = 98 = 3 \times 32 + 2$ ，所以从第 2 步再走 2 步的位置，和 $f_{4}$ 相同。

答案：

$1$ 。

五、容易错在哪

迭代次数错移一位是最常见的错误。先写明第 0 项或第 1 项是谁。
分段边界用错段会让整串数都错，边界值要看清哪段带等号。
一个起点循环，不能说所有起点都循环，更不能说函数有平移周期。
闭环上解函数值之前，不能把闭环上的函数值都当成相同。
递减函数与反函数的交点可能不在 $y = x$ 上，只解 $f (x) = x$ 会漏解。

进阶：分式递推

分式递推常常是循环

$a_{n}$ 表示第 $n$ 项。 $a_{n + 1} = \frac{1 + a _{n}}{1 - a _{n}}$ 连用两次： $\frac{1 + \frac{1 + a}{1 - a}}{1 - \frac{1 + a}{1 - a}} = \frac{2}{- 2 a} = - \frac{1}{a}$ ，连用四次回到 $a_{n}$ ，周期为 $4$ 。这要求每一步分母都不为零，也就是起始值不能是 $- 1, 0, 1$ ：例如 $a_{1} = 0$ ，下一项是 $1$ ，再下一步分母为 $0$ ，算不下去。 $a_{n + 1} = \frac{a _{n} - 1}{a _{n} + 1}$ 和 $f (x + 2) = \frac{1}{f ( x )}$ 也可以这样列几项找循环。求乘积时，整组乘完再乘尾项。

进阶：两项递推

两项递推

每一项由前两项决定时，只要连续两项再次相同，后面就完全重复。所以要盯住相邻的一对数，不是单独一个数。

例 3：两项递推的值和求和

$a_{1} = 2, a_{2} = 5$ ， $a_{n + 2} = a_{n + 1} - a_{n}$ 。求 $a_{2026}$ 和 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{2026}$ 。

怎么看出来：

每一项由前两项决定，所以连续两项再次相同，后面就完全重复。列值找这件事。

解：

依次得 $2, 5, 3, - 2, - 5, - 3, 2, 5$ 。第 7、8 项又是 $2, 5$ ，所以每 6 项循环。每 6 项之和为 $0$ 。 $2026 = 6 \times 337 + 4$ ，所以 $a_{2026} = a_{4} = - 2$ ；总和等于前 4 项之和 $2 + 5 + 3 - 2 = 8$ 。

答案：

$a_{2026} = - 2$ ，总和为 $8$ 。

进阶：函数方程闭环

函数方程的闭环：把函数值当未知数

条件 $3 f (x) + f (x^{2} - 2) = x$ 把输入 $x$ 送到 $x^{2} - 2$ 。要求 $f (3)$ ： $3 \to 1 \to - 1 \to - 1$ 。 $- 1$ 被送回自己，这种点叫不动点。在不动点上方程只有一个未知数，能解出来，再沿箭头一步步回推。如果箭头走了一圈才回来，就把一圈上的函数值都当未知数，每个输入写一个方程，联立解。

例 4：函数方程沿闭环解

$f$ 定义在 $x \neq = 0, 1$ 上，对定义域内的 $x$ ， $f (x) + f (\frac{1}{1 - x}) = x$ 。求 $f (2)$ 。

怎么看出来：

$f$ 的全貌不必求。追踪输入： $2 \to - 1 \to \frac{1}{2} \to 2$ ，走一圈回到 $2$ ，三个函数值就是三个未知数。

解：

分别取 $x = 2, - 1, \frac{1}{2}$ ： $f (2) + f (- 1) = 2$ ， $f (- 1) + f (\frac{1}{2}) = - 1$ ， $f (\frac{1}{2}) + f (2) = \frac{1}{2}$ 。三式相加： $2 (f (2) + f (- 1) + f (\frac{1}{2})) = \frac{3}{2}$ ，所以三者之和是 $\frac{3}{4}$ 。减去第二式： $f (2) = \frac{3}{4} - (- 1) = \frac{7}{4}$ 。代回： $f (- 1) = \frac{1}{4}$ ， $f (\frac{1}{2}) = - \frac{5}{4}$ ，三个方程都成立。

答案：

$\frac{7}{4}$ 。

进阶：函数与反函数的交点 · 先修：反函数

函数与反函数的交点不一定在 $y = x$ 上

交点 $(p, q)$ 满足 $q = f (p)$ 且 $p = f (q)$ ，也就是 $p \to q \to p$ 的 2 步循环。 $f$ 严格递增时交点都在 $y = x$ 上； $f$ 递减时可能有其他交点。例如 $f (x) = 1 - x^{3}$ ： $f (0) = 1, f (1) = 0$ ，点 $(0, 1), (1, 0)$ 不在 $y = x$ 上。所以不能只解 $f (x) = x$ 。

真题

按这个方法练 · 11 题

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函数值比较、恒成立和根的位置：用单调性去掉函数符号

严格单调的函数里，函数值的大小和输入的大小一一对应。证明单调后，就能去掉 $f$ ，只比较里面的式子。

完整讲解 · 例题 · 可练 34 题

一、是什么

严格单调才能去掉 $f$

严格递增指 $u < v$ 时一定有 $f (u) < f (v)$ 。此时 $f (u) < f (v) ⟺ u < v$ ， $f (u) = f (v) ⟺ u = v$ 。只是“不减”时， $f (u) = f (v)$ 不能推出 $u = v$ 。两个输入都要落在函数单调的区间内。

奇函数的和：移项变比较

$F$ 是奇函数且严格递增时， $F (u) + F (v) > 0 ⟺ F (u) > - F (v) = F (- v) ⟺ u + v > 0$ 。若 $g = F + c$ 是奇函数加常数，先把常数减掉： $g (u) + g (v) > 2 c ⟺ u + v > 0$ 。

用作差证明单调

任取 $u < v$ ，看 $f (v) - f (u)$ 的符号。例如 $f (x) = x^{3} + x$ ： $f (v) - f (u) = (v - u) (v^{2} + uv + u^{2} + 1)$ 。这里 $uv$ 可能是负数，不能逐项说非负，要配方： $v^{2} + uv + u^{2} = (v + \frac{u}{2})^{2} + \frac{3}{4} u^{2} \geq 0$ 。所以后一个因子至少是 $1$ ，差为正， $f$ 严格递增。另外，增函数相加还是增函数： $u < v$ 时每一项都变大，和也变大。

偶函数比较看绝对值，对称轴比较看距离

偶函数在 $[0, + \infty)$ 严格递增时， $f (u) < f (v) ⟺ ∣ u ∣ < ∣ v ∣$ 。方程 $f (u) = f (v)$ 要分 $u = v$ 和 $u = - v$ 两种情况。图像关于 $x = a$ 对称，且右侧递增时，比较的是到 $a$ 的距离： $f (u) < f (v) ⟺ ∣ u - a ∣ < ∣ v - a ∣$ 。开口向上的二次函数就是这样。

恒成立就看最不利的情况

去掉 $f$ 后，条件变成“对所有 $x$ ，某式 $\geq 0$ ”。这个式子有最小值（所有函数值中最小的那个）时，只要最小值 $\geq 0$ 。例如对所有 $x \in [0, 1]$ 都有 $x^{2} \geq a$ ： $x^{2}$ 的最小值是 $0$ ，所以 $a \leq 0$ 。

先看一道例题

例 1：偶函数比较

偶函数 $f$ 在 $[0, + \infty)$ 严格递增。解不等式 $f (2 x - 1) < f (x + 1)$ 。

怎么看出来：

输入可能是负的，不能直接去 $f$ ；偶函数要比绝对值。

解：

条件等价于 $∣2 x - 1∣ < ∣ x + 1∣$ 。两边平方再作差： $(2 x - 1)^{2} - (x + 1)^{2} = (x - 2) (3 x) < 0$ ，解得 $0 < x < 2$ 。检查： $x = 1$ 时 $f (1) < f (2)$ ，成立； $x = 3$ 时 $f (5) < f (4)$ ，不成立。

答案：

$0 < x < 2$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
$f (式子 1) + f (式子 2) > 0$ ， $f$ 是奇函数	移项用奇性，再比较两个输入
偶函数比较，或 $f (a - x) = f (a + x)$ 再比较	比绝对值，或比到对称轴的距离
对区间里所有 $x$ 恒成立，或存在 $x$ 成立	去 $f$ ，分离参数，看最小值或最大值
式子由 $2^{x} - 2^{- x}$ 、 $ln (x^{2} + 1 + x)$ 和常数组成	先分出常数，剩下的是严格递增的奇函数（见进阶“用导数或复合式判单调”）
$f (\dots θ \dots)$ 对一切 $θ$ 恒成立	去 $f$ ，换元 $s = sin θ$ ，求最不利的 $s$ （见进阶“恒成立的换元和边界”）
分段函数在 $R$ 上单调，求参数	每段单调加接点不等式（见进阶“分段函数整体单调”）
问零点所在的整数区间	用单调性加端点异号，偶函数记得两侧都有（见进阶“零点定位”）

三、怎么用

确定单调范围。例如偶函数 $f$ 在 $[0, + \infty)$ 严格递增，解 $f (x) < f (x - 2)$ 。
把输入放进单调范围。偶函数有 $f (a) = f (∣ a ∣)$ ，所以写成 $f (∣ x ∣) < f (∣ x - 2∣)$ 。
去掉 $f$ ： $∣ x ∣ < ∣ x - 2∣$ 。
解关于输入的不等式。两边平方： $x^{2} < x^{2} - 4 x + 4$ ，所以 $x < 1$ 。恒成立题这一步再求最不利的 $x$ 。
代值核对。 $x = 0$ 时 $f (0) < f (2)$ ，成立； $x = 2$ 时 $f (2) < f (0)$ ，不成立。

四、再做一道

例 2：恒成立和存在，看的不是同一端

$F$ 是 $R$ 上严格递增的奇函数。(1) 对一切 $x \in [0, 2]$ ， $F (x^{2} - a) + F (x) > 0$ ，求 $a$ 的范围。(2) 存在 $x \in [0, 2]$ 使 $F (x^{2} - a) + F (x) > 0$ ，求 $a$ 的范围。

怎么看出来：

两问去掉 $F$ 后是同一个式子。“对一切”要最不利的 $x$ 也成立，看最小值；“存在”只要最有利的 $x$ 成立，看最大值。

解：

$F (x^{2} - a) > - F (x) = F (- x)$ ，由严格递增得 $x^{2} - a > - x$ ，即 $a < x^{2} + x$ 。 $x^{2} + x$ 在 $[0, 2]$ 上递增，最小值是 $x = 0$ 时的 $0$ ，最大值是 $x = 2$ 时的 $6$ ，都能取到。(1) 要对所有 $x$ 成立，需 $a < 0$ 。(2) 只要有一个 $x$ 成立，需 $a < 6$ 。不等号是严格的，所以等号都不能取： $a = 6$ 时 $x = 2$ 也只得 $0 > 0$ ，不成立。

答案：

(1) $a < 0$ ；(2) $a < 6$ 。

五、容易错在哪

去掉 $f$ 之前要先证严格单调。只说“看起来递增”不算。
局部单调不能当全局单调用，跨过断点的比较可能是错的。
偶函数的方程 $f (u) = f (v)$ 不要漏掉 $u = - v$ 。
恒成立只求出必要条件还不够，要确认最不利点能取到，再决定等号。
用异号判断有根时，要有连续性；有间断时函数可能跳过 $0$ 。

进阶：用导数或复合式判单调 · 先修：导数、对数函数

怎样证明单调

导数处处为正时函数严格递增。这只是足够的办法，不是必须的： $x^{3}$ 的导数在 $x = 0$ 等于 $0$ ，它仍然严格递增。奇函数只要证 $x \geq 0$ 一侧：若 $u < v \leq 0$ ，则 $- u > - v \geq 0$ ， $f (- u) > f (- v)$ ，即 $- f (u) > - f (v)$ ，所以 $f (u) < f (v)$ 。例如 $ln (x^{2} + 1 + x)$ ：因为 $(x^{2} + 1 + x) (x^{2} + 1 - x) = 1$ ，所以它是奇函数； $x \geq 0$ 时括号内递增，所以它在整个数轴上严格递增。 $x^{3/5} + 2023 x$ 这样的奇次根加一次项也严格递增。求“ $x^{5} + c x$ 严格递增时 $c$ 的范围”： $c \geq 0$ 时， $x^{5}$ 严格递增， $c x$ 不减，和严格递增。 $c < 0$ 时不行：取 $0 < h < 4 - c$ ，则 $h^{4} + c < 0$ ，所以 $h^{5} + c h = h (h^{4} + c) < 0 = f (0)$ ， $h > 0$ 处的值反而比 $0$ 处小。所以范围恰好是 $c \geq 0$ 。

例 3：常数加奇函数

$g (x) = x^{3} + ln (x^{2} + 1 + x) + 5$ 。解不等式 $g (3 x - 2) + g (x) > 10$ 。

怎么看出来：

去掉常数 $5$ 后是两个严格递增的奇函数之和；右边 $10$ 正好是 2 倍常数。

解：

令 $h (x) = g (x) - 5 = x^{3} + ln (x^{2} + 1 + x)$ ，两项都是严格递增的奇函数，所以 $h$ 也是。不等式变为 $h (3 x - 2) + h (x) > 0$ ，即 $h (3 x - 2) > h (- x)$ ，即 $3 x - 2 > - x$ 。

答案：

$x > \frac{1}{2}$ 。

进阶：分段函数整体单调 · 先修：指数函数

分段函数整体单调

每段都单调还不够，接点处不能往回跳。整体递增要求：每段递增，且左段在接点的极限不大于右段的起点值。 $\frac{1}{x}$ 在两段各自递减，但 $- 1 < 2$ 时 $- 1 < \frac{1}{2}$ ，整体并不递减。

例 4：分段函数的整体单调

$f (x) = (3 - a) x + 1 (x < 1)$ ， $f (x) = a^{x} (x \geq 1)$ 在 $R$ 上严格递增，求 $a$ 的范围。

怎么看出来：

三个条件：左段增、右段增、接点不往回跳。

解：

左段递增要求 $3 - a > 0$ ，右段递增要求 $a > 1$ 。接点处，左段趋于 $3 - a + 1 = 4 - a$ ，右段从 $a$ 开始，要求 $4 - a \leq a$ ，即 $a \geq 2$ 。三者取交集。 $a = 2$ 时两段在 $x = 1$ 接上，仍严格递增，可取。

答案：

$2 \leq a < 3$ 。

进阶：恒成立的换元和边界 · 先修：三角函数（只用于换元）

边界取不到，换元后再看

最小值不存在时，比较它无限接近的边界值，再单独判断等号：例如 $x \in (0, 1)$ 时 $x < a$ 恒成立， $x$ 取不到 $1$ ，所以 $a \geq 1$ ， $a = 1$ 也可以。条件里有 $sin θ$ 时，令 $s = sin θ$ ， $s \in [- 1, 1]$ ，再求最不利的 $s$ 。自变量 $x \in [m, m + 1]$ 时，一次式的最小值在端点。

例 5：边界取不到的恒成立

$f$ 是 $R$ 上的严格递增函数。对任意 $x \in (0, 2)$ ， $f (a x) > f (x^{2} - 1)$ 恒成立，求 $a$ 的范围。

怎么看出来：

去掉 $f$ 后可以分离参数。区间是开的，右端点取不到，等号要单独判断。

解：

条件等价于 $a x > x^{2} - 1$ 。因为 $x > 0$ ，两边除以 $x$ ，方向不变： $a > x - \frac{1}{x}$ 。 $x - \frac{1}{x}$ 在 $(0, 2)$ 上严格递增，无限接近 $\frac{3}{2}$ ，但取不到，所以它没有最大值。若 $a < \frac{3}{2}$ ，取 $x$ 足够靠近 $2$ 就不成立。若 $a = \frac{3}{2}$ ，对每个 $x \in (0, 2)$ 都有 $x - \frac{1}{x} < \frac{3}{2}$ ，成立。

答案：

$a \geq \frac{3}{2}$ 。

进阶：零点定位 · 先修：连续函数、指数函数

零点的位置：异号定位，单调定唯一

连续函数在区间两端异号，中间必有零点；再加严格单调，零点唯一。必须有连续性，否则可能跳过去。偶函数在 $(0, + \infty)$ 上有一个零点 $r$ ，就有 $\pm r$ 两个，所以包含全部零点的区间要两边都覆盖。几段各自单调时，每段至多一个根，分段数根，再用端点值判断。

例 6：零点所在区间

$f (x) = 2^{∣ x ∣} + ∣ x ∣ - 9$ 的零点都在 $[a, b]$ 内， $a, b$ 为整数，求 $b - a$ 的最小值。

怎么看出来：

$f$ 是偶函数，只需看右半边；右半边严格递增且连续。

解：

$x \geq 0$ 时 $f (x) = 2^{x} + x - 9$ 严格递增且连续， $f (2) = - 3 < 0$ ， $f (3) = 2 > 0$ ，所以恰有一个零点 $r \in (2, 3)$ 。由偶性，全部零点是 $\pm r$ 。 $[a, b]$ 要覆盖它们，需 $a \leq - 3$ ， $b \geq 3$ 。

答案：

$6$ 。

进阶：同型方程与值域 · 先修：连续函数

同型方程与值域反求

两个方程写成 $h (s) = k$ 和 $h (w) = - k$ ， $h$ 为严格递增的奇函数，则 $w = - s$ ，不用解出 $s$ 。闭区间上单调时，最大值和最小值由端点决定；再加上连续，值域才是两端函数值之间的整个区间，不连续的函数可能跳过一段值。例如 $y = x^{2}$ 在 $[m, n] (0 \leq m < n)$ 上连续且递增，若值域是 $[2 m, 2 n]$ ，则 $m^{2} = 2 m, n^{2} = 2 n$ ，得 $m = 0, n = 2$ 。另外，严格递增的 $g$ 若满足 $g (g (x)) = x$ ，必有 $g (x) = x$ ：如果 $g (x) > x$ ，再用一次递增得 $g (g (x)) > g (x) > x$ ，矛盾；如果 $g (x) < x$ ，同样再用一次递增，得 $g (g (x)) < g (x) < x$ ，也矛盾。

真题

按这个方法练 · 34 题

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条件同时有 $f (x)$ 和 $f (- x)$ 或 $f (1/ x)$ ：换元再写一式，解方程组

把 $f (x)$ 和 $f (- x)$ （或 $f (1/ x)$ ）看成两个未知数。把 $x$ 换掉，就多出一个方程，两个方程解出 $f (x)$ 。

完整讲解 · 例题 · 可练 14 题

一、是什么

换元造出第二个方程

$f (x) + 2 f (- x) = 3 x^{2} + 3 x$ ，把 $x$ 换成 $- x$ ，得 $f (- x) + 2 f (x) = 3 x^{2} - 3 x$ 。把 $f (x)$ 和 $f (- x)$ 当作两个未知数，这就是普通的二元一次方程组。

奇偶条件带补偿项

偶函数满足 $E (- x) = E (x)$ ，奇函数满足 $O (- x) = - O (x)$ 。 $f (x) + x^{2}$ 是奇函数，不是说 $f$ 是奇函数，而是 $f (- x) + x^{2} = - f (x) - x^{2}$ ，补偿项要一起变号。 $f (x) + x$ 是偶函数，则 $f (- x) - x = f (x) + x$ 。两条合起来，就是 $f (x), f (- x)$ 的方程组。

任意函数拆成偶部分和奇部分

若 $h = E + O$ ， $E$ 偶、 $O$ 奇，把 $x$ 换成 $- x$ 得 $h (- x) = E (x) - O (x)$ 。相加相减得 $E (x) = \frac{h ( x ) + h ( - x )}{2}$ ， $O (x) = \frac{h ( x ) - h ( - x )}{2}$ 。

倒数换元不是到处都能用

$\frac{1}{x}$ 要求 $x \neq = 0$ ，所以 $x = 0$ 要另看。题目限定 $x > 0$ 时， $\frac{1}{x}$ 也大于 $0$ ，换元不跑出范围。

先看一道例题

例 1：带权的奇偶拆分

$E$ 是偶函数， $O$ 是奇函数， $E (x) + 2 O (x) = x^{2} + 4 x + 1$ 。求 $O (1)$ 。

怎么看出来：

拆分公式对应系数都是 $1$ 的情形，这里系数不同，就回到换元。

解：

把 $x$ 换成 $- x$ ，用 $E (- x) = E (x)$ ， $O (- x) = - O (x)$ ： $E (x) - 2 O (x) = x^{2} - 4 x + 1$ 。两式相减： $4 O (x) = 8 x$ ，所以 $O (x) = 2 x$ ， $O (1) = 2$ 。检查： $E (x) = x^{2} + 1$ 是偶函数， $O (x) = 2 x$ 是奇函数， $E (x) + 2 O (x) = x^{2} + 4 x + 1$ ，成立。

答案：

$2$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
同一式子里有 $f (x), f (- x)$	$x \to - x$ 再写一式，解二元方程组
同一式子里有 $f (x), f (\frac{1}{x})$	$x \to \frac{1}{x}$ 再写一式，乘开分母再消元
$f (x) +$ 已知式是奇函数或偶函数，给两条	分别写出定义，补偿项一起变号
把函数写成偶函数和奇函数的和	用 $\frac{h ( x ) \pm h ( - x )}{2}$
长求和里的输入两两乘积相同	算 $w (t) + w (\frac{c}{t})$ 是否为常数（见进阶“不求函数，直接配对”）

三、怎么用

写出原式，再换元写第二式。例如 $f (x) + 2 f (- x) = 3 x^{2} + 3 x$ ，把 $x$ 换成 $- x$ ： $f (- x) + 2 f (x) = 3 x^{2} - 3 x$ 。
消元。第二式乘 $2$ 减原式， $f (- x)$ 消掉： $3 f (x) = 2 (3 x^{2} - 3 x) - (3 x^{2} + 3 x) = 3 x^{2} - 9 x$ 。
解出函数： $f (x) = x^{2} - 3 x$ 。不要除以可能为零的因子，这里只除以 $3$ 。
代回全部条件： $f (- x) = x^{2} + 3 x$ ， $x^{2} - 3 x + 2 (x^{2} + 3 x) = 3 x^{2} + 3 x$ ，成立。
最后做题目要的事。例如求 $f (2) = 4 - 6 = - 2$ 。

四、再做一道

例 2：换元不一定是变号或取倒数

对所有实数 $x$ ， $f (x) + 2 f (1 - x) = x^{2}$ 。求 $f (x)$ 的最小值。

怎么看出来：

$f (x)$ 和 $f (1 - x)$ 同时出现，把 $x$ 换成 $1 - x$ ，这两项正好互换。

解：

换元得 $f (1 - x) + 2 f (x) = (1 - x)^{2}$ 。第二式乘 $2$ 减原式： $3 f (x) = 2 (1 - x)^{2} - x^{2} = x^{2} - 4 x + 2$ ，所以 $f (x) = \frac{x ^{2} - 4 x + 2}{3}$ 。代回检查：取 $x = 0$ ， $f (0) + 2 f (1) = \frac{2}{3} - \frac{2}{3} = 0$ ，成立。配方： $f (x) = \frac{( x - 2 ) ^{2} - 2}{3}$ ， $x = 2$ 时最小。

答案：

最小值 $- \frac{2}{3}$ 。

五、容易错在哪

$f (x) + g (x)$ 是奇函数，不等于 $f$ 是奇函数， $g$ 这一项也要随之变号。
只核对最后的数值不够，要把解析式代回全部条件。
倒数换元会漏掉 $x = 0$ ；除以含 $x$ 的因子会漏掉让它为零的点。
换元后得到的方程可能和原式相同，这时解不出来，不要硬算。

进阶：指数式的补偿和拆分 · 先修：指数函数

指数式的补偿项

$3^{- x} = \frac{1}{3 ^{x}}$ 。 $f (x) + 3^{x}$ 是偶函数，则 $f (- x) + 3^{- x} = f (x) + 3^{x}$ 。换元和消元的做法完全一样。

例 3：指数式的带权拆分

$E$ 是偶函数， $O$ 是奇函数， $E (x) + 2 O (x) = 3^{x}$ 。求 $O (1)$ 。

怎么看出来：

拆分公式对应系数都是 $1$ 的情形，这里系数不同，就回到换元。

解：

把 $x$ 换成 $- x$ ： $E (x) - 2 O (x) = 3^{- x}$ 。两式相减： $4 O (x) = 3^{x} - 3^{- x}$ ，所以 $O (1) = \frac{3 - \frac{1}{3}}{4}$ 。检查： $E (x) = \frac{3 ^{x} + 3 ^{- x}}{2}$ ， $E (x) + 2 O (x) = 3^{x}$ ，成立。

答案：

$\frac{2}{3}$ 。

例 4：指数式拆分后求比值的范围

在非零实数上， $E$ 为偶函数， $O$ 为奇函数， $E (x) + O (x) = 2^{x}$ 。求 $\frac{E ( x )}{O ( x )}$ 的取值范围。

怎么看出来：

先用拆分公式。比值里出现 $4^{x}$ ，换元后是一个简单分式，注意端点取不到。

解：

$E = \frac{2 ^{x} + 2 ^{- x}}{2}, O = \frac{2 ^{x} - 2 ^{- x}}{2}$ 。 $x \neq = 0$ 时 $O \neq = 0$ 。分子分母同乘 $2^{x}$ ，令 $s = 4^{x}$ ，则 $s > 0, s \neq = 1$ ，比值为 $\frac{s + 1}{s - 1} = 1 + \frac{2}{s - 1}$ 。 $s > 1$ 时取遍 $(1, + \infty)$ ； $0 < s < 1$ 时 $\frac{2}{s - 1} < - 2$ ，取遍 $(- \infty, - 1)$ 。 $\pm 1$ 都取不到。

答案：

$(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ 。

进阶：带系数和输入因子 · 先修：指数函数（只用于其中一题）

带系数和带输入因子的方程组

$f (x) + 2 x f (\frac{1}{x}) = \dots$ 中，系数含 $x$ 。把 $x$ 换成 $\frac{1}{x}$ 后，整式乘 $x$ 去分母，再消元。这样可以避免除以可能为零的式子。若条件是 $x f (x)$ 为奇函数，写出来是 $- x f (- x) = - x f (x)$ ，即 $x (f (- x) - f (x)) = 0$ 。只有 $x \neq = 0$ 时才能除以 $x$ ， $x = 0$ 处这个条件什么也没说。

方程组可能解不出来

$f (x) + x f (\frac{1}{x}) = g (x)$ ，把 $x$ 换成 $\frac{1}{x}$ 再乘 $x$ ，左边和原来完全一样，没有多出新的方程，这种条件确定不了 $f$ 。解不出时不是算错了，要回到题目问的量。

例 5：输入因子为零的点要单独看

$f$ 定义在 $R$ 上， $x f (x) + x^{2}$ 和 $f (x) + 2^{x}$ 都是偶函数。求 $x \neq = 0$ 时的 $f (x)$ ； $f (0)$ 能确定吗？

怎么看出来：

第一条里 $f$ 前面有因子 $x$ ，要除它，就要想到 $x = 0$ 。

解：

第一条： $- x f (- x) + x^{2} = x f (x) + x^{2}$ ，即 $x (f (x) + f (- x)) = 0$ ，所以 $x \neq = 0$ 时 $f (- x) = - f (x)$ 。第二条： $f (- x) + 2^{- x} = f (x) + 2^{x}$ ，即 $f (x) - f (- x) = 2^{- x} - 2^{x}$ 。 $x \neq = 0$ 时代入 $f (- x) = - f (x)$ ，得 $f (x) = \frac{2 ^{- x} - 2 ^{x}}{2}$ 。 $x = 0$ 时，两条条件都变成恒等式，对 $f (0)$ 没有要求。代回： $x \cdot \frac{2 ^{- x} - 2 ^{x}}{2}$ 和 $\frac{2 ^{- x} + 2 ^{x}}{2}$ 都是偶函数。

答案：

$x \neq = 0$ 时 $f (x) = \frac{2 ^{- x} - 2 ^{x}}{2}$ ； $f (0)$ 不能确定，可取任意实数。

进阶：不求函数，直接配对

不求 $f$ ，直接配对

有些题只求和： $x \neq = 0, x \neq = - 1$ 时， $w (x) = \frac{x}{1 + x}$ ， $w (\frac{1}{x}) = \frac{1/ x}{1 + 1/ x} = \frac{1}{x + 1}$ ，所以 $w (x) + w (\frac{1}{x}) = 1$ 。看到互为倒数的输入成对，先算这个和。

例 6：互为倒数的长求和

$w (x) = \frac{x}{1 + x}$ ，求 $w (\frac{1}{10}) + w (\frac{1}{9}) + \dots + w (\frac{1}{2}) + w (1) + w (2) + \dots + w (10)$ 。

怎么看出来：

输入 $k$ 和 $\frac{1}{k}$ 成对， $1$ 自己配自己。

解：

$w (x) + w (\frac{1}{x}) = \frac{x}{1 + x} + \frac{1}{x + 1} = 1$ 。 $k = 2, \dots, 10$ 共 9 对，贡献 $9$ 。 $w (1) = \frac{1}{2}$ 。

答案：

$\frac{19}{2}$ 。

进阶：倒数换元解方程

例 7：倒数换元后解方程

$f$ 定义在非零实数上， $f (x) + 2 f (\frac{1}{x}) = 3 x$ 。解方程 $f (x) = f (- x)$ 。

怎么看出来：

有 $f (x)$ 和 $f (1/ x)$ ，先解出 $f (x)$ ，再处理方程。 $x \neq = 0$ 时 $\frac{1}{x}$ 也不为零，换元不跑出范围。

解：

把 $x$ 换成 $\frac{1}{x}$ ： $f (\frac{1}{x}) + 2 f (x) = \frac{3}{x}$ 。这个式子乘 $2$ 减原式： $3 f (x) = \frac{6}{x} - 3 x$ ，所以 $f (x) = \frac{2}{x} - x$ 。代回： $\frac{2}{x} - x + 2 (2 x - \frac{1}{x}) = 3 x$ ，成立。 $f (- x) = - \frac{2}{x} + x$ 。方程变为 $\frac{2}{x} - x = - \frac{2}{x} + x$ ，即 $\frac{4}{x} = 2 x$ ， $x^{2} = 2$ 。

答案：

$x = \pm 2$ 。

真题

按这个方法练 · 14 题

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复合函数、半边公式和周期函数：把条件换到已知的那段上解

已知条件只说了一段，或者只说了内层。先弄清内层能取到哪些值，再用换元、对称或周期，把要解的问题搬到已知段上。

完整讲解 · 例题 · 可练 27 题

一、是什么

复合式：内层能取到的值才有结论

$f (t^{2} + 6 t) = ∣ t + 3∣$ 。令 $x = t^{2} + 6 t = (t + 3)^{2} - 9$ ，所以 $x \geq - 9$ 。反过来，对每个 $x \geq - 9$ ，取 $t = - 3 + x + 9$ ，就有 $t^{2} + 6 t = x$ ，所以 $[- 9, + \infty)$ 全都取得到。又 $∣ t + 3∣ = x + 9$ ，同一个 $x$ 对应的两个 $t$ 输出相同，条件没有矛盾。于是 $x \geq - 9$ 时 $f (x) = x + 9$ ；比 $- 9$ 小的输入，这个条件什么也没说。

复合的定义域取交集

$f$ 的定义域是 $[- 2, 2]$ 时， $f (2 x) + f (\frac{x}{2})$ 要求 $- 2 \leq 2 x \leq 2$ 且 $- 2 \leq \frac{x}{2} \leq 2$ ，即 $- 1 \leq x \leq 1$ 且 $- 4 \leq x \leq 4$ ，取交集得 $[- 1, 1]$ 。

只给半边公式：用奇偶补另一半

只给 $x \geq 0$ 的公式时，奇函数： $x < 0$ 时 $f (x) = - f (- x)$ ；偶函数： $x < 0$ 时 $f (x) = f (- x)$ 。奇函数在 $x = 0$ 有定义时 $f (0) = 0$ ，这常常用来求参数。解不等式时分两边解，再合并。

先看一道例题

例 1：由复合式求函数

对任意 $t \geq 0$ ， $f (t + 1) = t + 2 t$ 。求 $f (x)$ ，并说明它确定在什么范围。

怎么看出来：

内层是根式，令它为 $x$ ，反解出 $t$ 再代入右边。

解：

令 $x = t + 1$ 。因为 $t \geq 0$ ，所以 $x \geq 1$ 。反过来，对每个 $x \geq 1$ ，取 $t = (x - 1)^{2}$ ，就有 $t + 1 = (x - 1) + 1 = x$ ，所以 $[1, + \infty)$ 全都取得到。右边： $t + 2 t = (x - 1)^{2} + 2 (x - 1) = x^{2} - 1$ 。检查： $t = 4$ 时 $x = 3$ ，右边 $4 + 4 = 8$ ，而 $3^{2} - 1 = 8$ ，成立。

答案：

$x \geq 1$ 时 $f (x) = x^{2} - 1$ ，其余输入未确定。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
$f (某式) = \dots$ ，要求 $f (x)$	令 $x =$ 内层，配方求范围，再把右边写成 $x$
$f$ 定义域给出，问 $f (内层)$ 的定义域	每个内层都放进定义域，取交集
奇偶函数只给了 $x \geq 0$	先由 $f (0) = 0$ 或对称求参数，另一半用对称写出
$f (lo g t) < 0$ ， $f$ 抽象	先写 $f (u)$ 的符号表，再解 $u$ （见进阶“已知符号解内层”）
周期偶函数，要在别的区间解不等式	把输入折回基础段，再用单调性（见进阶“周期折回”）
$f (2^{x})$ 这样的零点计数	换到 $u$ ，内层一一对应，按周期加余段算（见进阶“零点计数”）
几个不同的数函数值相等，求积	水平线，先找根的关系，再看 $m$ 的范围（见进阶“水平线截分段函数”）

三、怎么用

写清内层能取到的值。例如 $f (t^{2} + 1) = t^{4}$ ：令 $x = t^{2} + 1$ ，则 $x \geq 1$ 。
反解参数，说明每个值都取得到。对每个 $x \geq 1$ ，取 $t = x - 1$ ，就有 $t^{2} + 1 = x$ 。
把右边写成 $x$ ： $t^{4} = (t^{2})^{2} = (x - 1)^{2}$ ，所以 $x \geq 1$ 时 $f (x) = (x - 1)^{2}$ 。 $x < 1$ 时条件什么也没说。
代一个点核对。 $t = 2$ 时 $x = 5$ ， $f (5) = 16$ ，而 $t^{4} = 16$ ，成立。
只给半边公式时也是搬到已知段。例如奇函数 $f$ 在 $x > 0$ 时 $f (x) = x + 1$ ，则 $f (- 2) = - f (2) = - 3$ 。

四、再做一道

例 2：奇函数补另一半，再解不等式

$f$ 是 $R$ 上的奇函数， $x > 0$ 时 $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ 。写出 $x < 0$ 时的公式，并解不等式 $x f (x) < 0$ 。

怎么看出来：

右半边因式分解后看符号，左半边用 $f (x) = - f (- x)$ 。 $x = 0$ 单独看。

解：

$x < 0$ 时， $f (x) = - f (- x) = - (x^{2} + 2 x - 3) = - (x + 3) (x - 1)$ 。 $x > 0$ 时 $f (x) = (x - 3) (x + 1)$ ，所以要 $f (x) < 0$ ，得 $0 < x < 3$ 。 $x < 0$ 时要 $f (x) > 0$ ，即 $(x + 3) (x - 1) < 0$ ，结合 $x < 0$ 得 $- 3 < x < 0$ 。 $x = 0$ 时 $x f (x) = 0$ ，不满足。检查： $f (- 1) = - f (1) = 4$ ， $(- 1) \cdot 4 < 0$ ，成立。

答案：

$x < 0$ 时 $f (x) = - x^{2} - 2 x + 3$ ；解集为 $(- 3, 0) \cup (0, 3)$ 。

五、容易错在哪

没有证明内层能取到整个范围，就不能断言 $f$ 在那里的公式。
一个内层值对应多个输入时，要把这些输入都数上，根的个数不能照搬。
反射不等式时，大小次序会反向，开闭跟着对应的端点走：开端点反射后还是开的，不能写成闭的。
奇函数在 $x = 0$ 单独看： $f (0) = 0$ 不满足严格不等式 $f (x) < 0$ 。
水平线的端点取值要逐段判断，一段取得到不代表三个根都存在。

进阶：已知符号解内层

已知符号，解内层

$f$ 是奇函数，在 $(0, + \infty)$ 递增， $f (1) = 0$ 。 $u > 1$ 时 $f (u) > 0$ ， $0 < u < 1$ 时 $f (u) < 0$ ；由奇性， $- 1 < u < 0$ 时 $f (u) > 0$ ， $u < - 1$ 时 $f (u) < 0$ ； $u = 0$ 处 $f (0) = 0$ 。先写出 $u$ 的范围，再解内层，例如 $u = x^{2} - 3 x$ 。

例 3：偶函数的符号，内层是二次式

偶函数 $f$ 在 $[0, + \infty)$ 上严格递减， $f (2) = 0$ 。解不等式 $f (x^{2} - 3 x) > 0$ 。

怎么看出来：

$f$ 没有式子，但知道正负。先解 $u = x^{2} - 3 x$ 的范围，再解 $x$ 。

解：

$f (u) > 0 = f (2)$ ，由偶性和递减得 $∣ u ∣ < 2$ ，即 $- 2 < x^{2} - 3 x < 2$ 。 $x^{2} - 3 x + 2 > 0$ 得 $x < 1$ 或 $x > 2$ 。 $x^{2} - 3 x - 2 < 0$ 得 $\frac{3 - 17}{2} < x < \frac{3 + 17}{2}$ 。取交集，端点都取不到。检查： $x = 0$ 时 $u = 0$ ， $f (0) > 0$ ，成立； $x = 1$ 时 $u = - 2$ ， $f (- 2) = 0$ ，不成立。

答案：

$(\frac{3 - 17}{2}, 1) \cup (2, \frac{3 + 17}{2})$ 。

进阶：指数和对数做内层 · 先修：指数函数、对数函数、连续函数

指数和对数做内层

内层是 $u = lo g_{3} t$ 时，先得 $u$ 的范围，再换回 $t$ 。内层是减函数（如底数小于 $1$ 的对数）时，不等号要反向。内层是 $2^{t} + 2^{- t}$ 时，要用均值不等式和连续性说明它取遍哪些值。

例 4：由复合式求函数

对任意实数 $t$ ， $f (2^{t} + 2^{- t}) = 4^{t} + 4^{- t}$ 。求 $f (x)$ ，并说明它确定在什么范围。

怎么看出来：

右边是内层的平方减常数。内层不能取所有实数，要用均值不等式求范围。

解：

令 $x = 2^{t} + 2^{- t}$ ，则 $x^{2} = 4^{t} + 4^{- t} + 2$ ，所以右边等于 $x^{2} - 2$ 。两个正数 $A, B$ 满足 $A + B \geq 2 A B$ ， $A = B$ 时取等（因为 $(A - B)^{2} \geq 0$ ）。这里 $2^{t} \cdot 2^{- t} = 1$ ，所以 $x \geq 2$ ， $t = 0$ 时取等。 $t$ 从 $0$ 增大时， $x$ 从 $2$ 连续增大到无穷，所以取遍 $[2, + \infty)$ 。 $t$ 与 $- t$ 给出同一个 $x$ ，右边也相同，没有矛盾。 $x < 2$ 的输入，条件什么也没说。

答案：

$x \geq 2$ 时 $f (x) = x^{2} - 2$ ，其余输入未确定。

进阶：周期折回

周期函数折回一段

周期 $2$ 的偶函数，只要知道 $[0, 1]$ ，就知道全部。 $x \in [2, 3]$ 时， $f (x) = f (x - 2)$ ， $x - 2 \in [0, 1]$ ； $x \in [1, 2]$ 时， $f (x) = f (2 - x)$ 。无理数输入也这样折： $5 \approx 2.236$ ， $f (5) = f (5 - 2)$ 。

例 5：周期奇函数折回已知段

$f$ 是 $R$ 上周期为 $4$ 的奇函数， $x \in [0, 2]$ 时 $f (x) = x (2 - x)$ 。在 $[3, 6]$ 上解不等式 $f (x) > \frac{3}{4}$ 。

怎么看出来：

$[3, 6]$ 分成两段折回： $[3, 4]$ 减 $4$ 到 $[- 1, 0]$ ，要用奇性； $[4, 6]$ 减 $4$ 到 $[0, 2]$ ，直接用公式。

解：

$x \in [3, 4]$ ：令 $t = x - 4 \in [- 1, 0]$ ， $f (x) = f (t) = - f (- t) = - (- t) (2 + t) = t (2 + t)$ ，而 $t \leq 0, 2 + t > 0$ ，所以 $f (x) \leq 0$ ，没有解。 $x \in [4, 6]$ ：令 $t = x - 4 \in [0, 2]$ ， $f (x) = t (2 - t) > \frac{3}{4}$ ，即 $t^{2} - 2 t + \frac{3}{4} < 0$ ， $(t - \frac{1}{2}) (t - \frac{3}{2}) < 0$ ，得 $\frac{1}{2} < t < \frac{3}{2}$ 。加回 $4$ 。检查： $x = 5$ 时 $t = 1$ ， $f = 1 > \frac{3}{4}$ ； $x = \frac{9}{2}$ 时 $f = \frac{3}{4}$ ，取不到。

答案：

$(\frac{9}{2}, \frac{11}{2})$ 。

进阶：零点计数 · 先修：指数函数

内层一一对应才能照数根

$g (x) = f (2^{x})$ 中， $u = 2^{x}$ 严格递增，一个 $u$ 只对应一个 $x$ ，所以 $g$ 的零点个数等于 $f$ 在对应区间的零点个数。如果内层是 $x^{2}$ ，要分开看 $f$ 的每个零点 $u$ ： $u > 0$ 对应 $\pm u$ 两个根（两个都在所给范围内时）， $u = 0$ 只对应 $x = 0$ 一个根， $u < 0$ 没有实数根。例如 $f (u) = u$ 时， $f (x^{2}) = 0$ 只有 $x = 0$ ，不能翻倍。

长区间数零点：整周期加余段

设周期为 $T$ ，每个长为 $T$ 的左闭右开段都有 $N$ 个零点。长度 $qT +$ 余段的左闭右开区间，零点数是 $qN + r$ ， $r$ 是余段零点数， $0 \leq r \leq N$ 。这个范围常用来锁定 $N$ 。

例 6：内层多对一的零点计数

$f$ 的周期为 $2$ ，在 $[0, 2)$ 上的零点恰为 $0$ 和 $1$ 。求 $g (x) = f (x^{2})$ 在 $[- 3, 3]$ 上的零点个数。

怎么看出来：

$u = x^{2}$ 不是一一对应， $u > 0$ 对应两个 $x$ ， $u = 0$ 只对应一个。先数 $u$ ，再换回 $x$ 。

解：

由周期， $f$ 的零点恰为全体整数。 $x \in [- 3, 3]$ 时 $u \in [0, 9]$ ，零点 $u = 0, 1, \dots, 9$ 。 $u = 0$ 只给 $x = 0$ ，1 个根； $u = 1, \dots, 9$ 各给 $\pm u$ ，都在 $[- 3, 3]$ 内，共 $9 \times 2 = 18$ 个根。合计 $19$ 。

答案：

$19$ 个。

进阶：水平线截分段函数 · 先修：对数函数

水平线截分段函数

$f (x) = m$ 有几个根，就看水平线 $y = m$ 与图像有几个交点。多个根相等的题，先写出根之间的关系： $∣ lo g_{2} a ∣ = ∣ lo g_{2} b ∣$ 且 $a < b$ ，则 $lo g_{2} a + lo g_{2} b = 0$ ，即 $ab = 1$ 。再用 $m$ 的范围求剩余的量。端点取不取得到，要逐一判断。

例 7：分段函数的水平线

$f (x) = ∣ lo g_{2} x ∣ (0 < x \leq 2)$ ， $f (x) = 3 - x (x > 2)$ 。 $a < b < c$ 且 $f (a) = f (b) = f (c)$ 。求 $ab c$ 的取值范围。

怎么看出来：

三个根，用水平线 $y = k$ 看。前两个根由绝对值对数联系。

解：

设公共值为 $k$ 。 $∣ lo g_{2} x ∣ = k$ 在 $(0, 2]$ 有两根要求 $0 < k \leq 1$ ，此时 $ab = 1$ ， $b = 2^{k}$ 。 $c = 3 - k$ 要大于 $2$ ，要求 $k < 1$ 。所以 $0 < k < 1$ （ $k = 1$ 时 $x > 2$ 的那段没有根）。 $ab c = c = 3 - k$ ， $k \in (0, 1)$ ，所以取值在 $(2, 3)$ ，两端都取不到。检查 $k = \frac{1}{2}$ ： $a = \frac{1}{2}, b = 2, c = \frac{5}{2}$ ，积为 $\frac{5}{2}$ 。

答案：

$(2, 3)$ 。

真题

按这个方法练 · 27 题

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抽象函数的不等式：代特殊值定下函数值，再证明对所有数成立

没有解析式时，代 $0$ 、 $1$ 这样的数，让乘积和差变简单，先把函数值定下来；再设计输入，让同一个函数值抵消，得到对所有实数的结论。

完整讲解 · 例题 · 可练 8 题

一、是什么

从 $0$ 和 $1$ 开始试

$0$ 让乘积变 $0$ ， $1$ 让乘积不变，差为 $0$ 时输入也变简单。多元条件要把变量全取同一个值试一次，再固定几个变量，只留一个。

平方不大于 0，就锁定一个值

若代入后得到 $2 c A - A^{2} \geq c^{2}$ ，移项就是 $(A - c)^{2} \leq 0$ ，而平方不小于 $0$ ，所以 $A = c$ 。例如 $4 A - A^{2} \geq 4$ 就是 $(A - 2)^{2} \leq 0$ ，得 $A = 2$ 。不等式能变成等式，常常就靠这一招。

从两边夹出常值

代一组特殊值得 $f (x) \leq c$ ，代另一组得 $f (x) \geq c$ ，则 $f (x) = c$ 对所有 $x$ 成立。必须每个实数都能代进去，只试几个数不算证明。

不要多加条件

题目没说连续、可导，就不能用这些性质。也不能假设 $f$ 是某种形式。例如不能先设 $f (x) = k x + b$ ，这只能找例子，不能证明。

先看一道例题

例 1：平方锁定，上下夹逼

$f : R \to R$ ，对任意实数 $x, y$ ， $2 f (x y) - f (x) f (y) \geq 1$ 。求 $f (x)$ 。

怎么看出来：

没有解析式，先代全 $0$ 和全 $1$ ，看能否配成平方。

解：

取 $x = y = 0$ ，记 $A = f (0)$ ： $2 A - A^{2} \geq 1$ ，即 $(A - 1)^{2} \leq 0$ ，所以 $f (0) = 1$ 。取 $x = y = 1$ ，记 $B = f (1)$ ： $2 B - B^{2} \geq 1$ ，即 $(B - 1)^{2} \leq 0$ ，所以 $f (1) = 1$ 。取 $y = 1$ ： $2 f (x) - f (x) \geq 1$ ，所以 $f (x) \geq 1$ 。取 $y = 0$ ： $2 f (0) - f (x) f (0) \geq 1$ ，即 $2 - f (x) \geq 1$ ，所以 $f (x) \leq 1$ 。两边夹住， $x$ 是任意实数，所以 $f$ 恒为 $1$ 。代回： $2 - 1 = 1$ ，成立。

答案：

$f (x) = 1$ 。

二、什么时候想到它

题目里看到	应该想到
$f (x y), f (yz)$ 这样的多元不等式，对所有实数成立	先代全 $0$ 和全 $1$ ，看能否配成平方
问 $[1 \cdot f (1)] + [2 \cdot f (2)] + \dots$ 这样的长和，题目没给解析式	函数大概是常数，先证明它
要证明 $f (x) \geq 0$ 对所有 $x$	让两个函数项的输入相同，抵消后只剩想要的项（见进阶“设计输入抵消”）
含参函数满足对称条件，对所有 $t$ 成立	代特殊 $t$ 求参数，再验证（见进阶“代值定参数”）
解析式含绝对值，又要判断奇偶	先由定义域打开绝对值（见进阶“先用定义域化简”）

三、怎么用

代 $0$ 和 $1$ 。例如对任意实数 $x, y$ ， $4 f (x y) - f (x) f (y) \geq 4$ 。取 $x = y = 0$ ，记 $A = f (0)$ ： $4 A - A^{2} \geq 4$ 。
配成平方锁定函数值： $(A - 2)^{2} \leq 0$ ，所以 $f (0) = 2$ 。取 $x = y = 1$ ，记 $B = f (1)$ ： $4 B - B^{2} \geq 4$ ，即 $(B - 2)^{2} \leq 0$ ，所以 $f (1) = 2$ 。
固定一个变量，让另一个取遍全部实数。取 $y = 1$ ： $4 f (x) - 2 f (x) \geq 4$ ，所以 $f (x) \geq 2$ 。取 $y = 0$ ： $8 - 2 f (x) \geq 4$ ，所以 $f (x) \leq 2$ 。
两边夹住：对每个实数 $x$ ， $f (x) = 2$ 。
代回原条件： $4 \times 2 - 2 \times 2 = 4 \geq 4$ ，成立。

四、再做一道

例 2：交换输入，得到反向不等式

$f : R \to R$ ，对任意实数 $x, y$ ， $f (x + y) \geq f (x) + y$ ，且 $f (2) = 5$ 。求 $f (x)$ 。

怎么看出来：

条件只有一个方向。把 $x + y$ 当新的 $x$ ，把 $- y$ 当新的 $y$ ，就得到反方向。

解：

把 $x$ 换成 $x + y$ ，把 $y$ 换成 $- y$ ： $f (x) \geq f (x + y) - y$ ，即 $f (x + y) \leq f (x) + y$ 。与原式合起来， $f (x + y) = f (x) + y$ 。取 $x = 0, y = t$ ， $t$ 为任意实数，得 $f (t) = f (0) + t$ 。由 $f (2) = 5$ 得 $f (0) = 3$ 。代回： $(x + y) + 3 \geq (x + 3) + y$ ，成立。整个过程没有用连续性。

答案：

$f (x) = x + 3$ 。

五、容易错在哪

只试几个数就说函数恒定，这不是证明。要让自由变量能取遍所有实数。
构造 $x, y$ 时要证明它们是实数，判别式这一步不能省。
倒数或除法代入要排除 $0$ ， $0$ 单独处理。
不能默认抽象函数连续或可导，也不能假设它是一次函数。
代特殊值得到的参数只是必要条件，要代回验证。

进阶：设计输入抵消

设计输入，让同一个函数值抵消

条件 $f (x^{2} - y) + f (y) \geq f (x)$ 中，如果取 $y = x$ ，两边的 $f (y)$ 和 $f (x)$ 就相同，抵消后只剩 $f (x^{2} - x) \geq 0$ 。方法是：把想抵消的两项的输入设成相等，再看剩下的项。

证明输入真的存在

要证明对每个实数 $t$ 都成立，就要对每个 $t$ 解出实数 $x, y$ 。通常列方程后用判别式：判别式大于等于 $0$ ，实数解才存在。用 $y = \frac{t}{x}$ 这样的代入时，要求 $x \neq = 0$ ， $t = 0$ 单独处理。

例 3：设计输入抵消，并看能覆盖多大范围

$f : R \to R$ ，对任意实数 $x, y$ ， $f (x^{2} - y) + f (y) \geq f (x)$ 。证明：当 $t \geq - \frac{1}{4}$ 时， $f (t) \geq 0$ 。

怎么看出来：

要单独留下一项，就让另外两项抵消：取 $y = x$ 。留下的输入是 $x^{2} - x$ ，再看它能取到哪些 $t$ 。

解：

取 $y = x$ ： $f (x^{2} - x) + f (x) \geq f (x)$ ，所以对任意实数 $x$ ， $f (x^{2} - x) \geq 0$ 。对给定的 $t \geq - \frac{1}{4}$ ，解 $x^{2} - x = t$ ，即 $x^{2} - x - t = 0$ ，判别式 $1 + 4 t \geq 0$ ，所以有实数解。对这个 $x$ ，就有 $f (t) \geq 0$ 。例如 $t = 2$ 时取 $x = 2$ ， $t = - \frac{1}{4}$ 时取 $x = \frac{1}{2}$ 。这个取法覆盖不到 $t < - \frac{1}{4}$ ，因为 $x^{2} - x = (x - \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{4} \geq - \frac{1}{4}$ ，所以结论也只写到这个范围。

答案：

证毕： $t \geq - \frac{1}{4}$ 时 $f (t) \geq 0$ 。

进阶：代值定参数 · 先修：指数函数

对称条件代值定参数

$f (t) = f (- t)$ 对所有 $t$ 成立时，代一个具体的 $t$ 就得到参数的方程。这只是必要条件，解出后要代回验证对所有 $t$ 成立。

例 4：代值定参数

$f (x) = \frac{2 ^{x} + a}{2 ^{x} - 1} (x \neq = 0)$ 是奇函数。求 $a$ ，并解方程 $f (x) = 3$ 。

怎么看出来：

奇函数的等式对所有 $x \neq = 0$ 成立，代 $x = 1$ 就能求参数。这只是必要条件，要代回验证。

解：

由 $f (1) + f (- 1) = 0$ ： $f (1) = 2 + a$ ， $f (- 1) = \frac{\frac{1}{2} + a}{- \frac{1}{2}} = - 1 - 2 a$ ，相加得 $1 - a = 0$ ， $a = 1$ 。验证： $f (- x) = \frac{2 ^{- x} + 1}{2 ^{- x} - 1}$ ，分子分母同乘 $2^{x}$ 得 $\frac{1 + 2 ^{x}}{1 - 2 ^{x}} = - f (x)$ ，确实是奇函数。解 $\frac{2 ^{x} + 1}{2 ^{x} - 1} = 3$ ： $2^{x} + 1 = 3 \cdot 2^{x} - 3$ ， $2^{x} = 2$ 。

答案：

$a = 1$ ； $x = 1$ 。

进阶：先用定义域化简

判断奇偶：先用定义域化简

$\frac{9 - x ^{2}}{∣ x + 4∣ - 4}$ 的定义域要求 $- 3 \leq x \leq 3$ 且 $x \neq = 0$ 。这时 $x + 4 > 0$ ，绝对值直接打开，式子变成 $\frac{9 - x ^{2}}{x}$ ，这时 $f (- x) = - f (x)$ ，是奇函数。不化简就很难看出。

例 5：先由定义域化简

判断 $f (x) = \frac{9 - x ^{2}}{∣ x + 4∣ - 4}$ 的奇偶性。

怎么看出来：

绝对值里的 $x + 4$ 在定义域内的符号是确定的，可以打开。

解：

定义域： $- 3 \leq x \leq 3$ ，且 $∣ x + 4∣ \neq = 4$ 。 $x \in [- 3, 3]$ 时 $x + 4 > 0$ ，所以分母是 $x$ ，要求 $x \neq = 0$ 。定义域关于原点对称， $f (x) = \frac{9 - x ^{2}}{x}$ 。 $f (- x) = - f (x)$ ，而 $f (1) = 8 \neq = 0$ ，所以不是偶函数。

答案：

奇函数，不是偶函数。

真题

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误区对照

容易误以为

$f (x) = x$ 在定义域 $[- 1, 2]$ 上仍是奇函数，因为解析式满足 $f (- x) = - f (x)$ 。

应当这样想

奇偶性先要求定义域关于原点对称。 $2$ 在定义域内而 $- 2$ 不在， $f (- 2)$ 根本没有定义，所以这个函数既非奇函数也非偶函数。

为什么

函数包含定义域；不能只检查形式上的代数等式。 $f (x) = x$ 在全实轴上的奇性不能自动继承到不对称的限制域。

容易误以为

已知非恒定函数满足 $f (x + 4) = f (x)$ ，就证明了 $4$ 是最小正周期。

应当这样想

这只能证明 $4$ 是一个周期。例如 $f (x) = sin (π x)$ 的最小正周期为 $2$ ，也满足该等式。若没有其他条件，甚至不能保证存在最小正周期。

为什么

“是周期”与“是最小正周期”有不同证明任务。后者还要排除所有更小正周期；抽象函数不能擅加连续性。

容易误以为

$f (x) = 1/ x$ 在 $(- \infty, 0)$ 和 $(0, + \infty)$ 都严格递减，因此在整个 $R ∖ {0}$ 上严格递减。

应当这样想

跨段取 $- 1 < 2$ ，却有 $f (- 1) = - 1 < 1/2 = f (2)$ ，不满足严格递减所需的反向比较。只能说它在两个区间内分别严格递减。

为什么

各连通区间的单调性不能直接拼成跨断点的单调性；需要对定义域内任意两点的顺序都成立。

概念自测

先想清楚，再确认判断。这些自测只帮助辨清概念，不计入真题做对率。

真题 · 177 道

从易到难排列。圆点表示你在这台设备上的做题情况：绿色做对、黄色部分做对、红色没做出。