培玉 · 一试
2016 年天津预赛 · 第 10 题
F3填空题排列组合
甲、乙两名学生在五门课程中进行选修，他们共同选修的课程恰为一门，并且甲选修课程的数量多于乙，则甲、乙满足上述条件的选课方式的种数为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
先选共同课程，另外四门分别标为甲独选、乙独选或均不选，再利用交换对称。
解答
共同课程有 种选法。其余四门有 种标记。甲乙课程数相同等价于甲独选与乙独选数相等，这类有
种。其余方案在交换甲乙后两两配对，因此甲多于乙的有 种，总数为 。
复核
相等方案按两人各自独选0、1、2门分类，分别为1、12、6；共同课保证两人均至少选一门。
方法总结
有大小比较的有标号分配可先排除相等情形，再用交换对称。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
固定共同选修的一门后按甲乙在余下四门中的选课数差分类，组合计数求和为 155，评为 F3。
已记下，谢谢！