易混 2024 年浙江预赛 · P006615
两题都有“满足条件就停止”，但不放回与有放回决定了不同的样本模型。前者可考察随机排列中的相对先后，后者允许同一编号反复出现，需刻画每个时刻是否仍未停止。
停止规则相似，并不意味着能共用排列次序的推理。
培玉 · 一试
2024 年山东预赛
F3填空题概率
口袋中有大小相同的 个红球、 个白球，从中一个一个摸球（不放回），直到 个白球都摸出，即停止摸球。则停止摸球后袋内所剩红球个数的期望值是。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
对每一个红球使用指示变量：它留下当且仅当在随机排列中排在两个白球之后。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
固定一个红球，只看它与两个白球在随机排列中的相对次序，三者等可能地各自排在最后。该红球在停止时仍留在袋中的概率为 。由期望的线性性，剩余红球数期望为
复核
各红球是否留下并不独立，但期望线性性不需要独立条件。
方法总结
随机停止后的剩余个数，常可拆为若干“该对象是否留下”的指示变量分别求概率。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
需要转而考察单个红球与两个白球的相对次序，从最后出现概率直接求贡献。
联系 · 2 条
同一骨架 2020 年中科大少年班初试 第 8 题 · P009930
把随机排列中许多对象的贡献拆开后，两题都只需要很小一组对象的相对次序。对称性给出局部概率，再用期望线性性合并，而不用计算整个总数的分布。
剩余红球数与顺序对数的局部对象不同，相对次序的均匀性相同。
已记下，谢谢！