一试训练题

解答

$f$ 在 $\left[\frac{1}{3},3\right]$ 上递减、在 $[3,9]$ 上递增，$f(3)=4$，$f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{76}{3}$，$f(9)=8$，所以值域为 $\left[4,\frac{76}{3}\right]$。若等式成立，则左边至少 $4(n-1)$，右边至多 $\frac{76}{3}$，所以 $4(n-1)\le \frac{76}{3}$，得 $n-1\le 6$，即 $n\le 7$。取 $x_1=\cdots =x_6=3$，左边为 $24$；解 $x+\frac{9}{x}-2=24$ 得 $x^2-26x+9=0$，$x=13-4\sqrt{10}\approx 0.351\in \left[\frac{1}{3},9\right]$，故可取 $x_7=13-4\sqrt{10}$。所以 $n$ 的最大值为 $\boxed{7}$。