2026 年广西预赛

解答

令 $P=(x,y)$，并取

则 $f(x,y)=PA+PB+PC$。首先

又由平面向量的三角不等式，

两处等号可同时在 $x=0$ 时成立，故原问题等价于求

的最小值。

当 $y\le \sqrt{2}$ 时，

该导数随 $y$ 严格递增，且唯一零点为 $y=\sqrt{2/3}$，所以这一段的最小值为

当 $y\ge \sqrt{2}$ 时，$g^{\prime }(y)=1+2y/\sqrt{y^2+2}>0$，最小值在端点取得，等于 $4$。 由于 $\sqrt{2}+\sqrt{6}<4$，故