2025 年中科大少年班营一 · 第 2 题

解答

设 $H(x)=x^4+x^3-7x$，$x>0$。导数 $4x^3+3x^2-7$ 严格递增，在一处为零。故 $H$ 在 $(0,1]$ 严格递减，在 $[1,+\infty )$ 严格递增；最低值为负五，零的右极限为零，正无穷端极限为正无穷。因此 $a=-5$ 时只有谷点一个解；$-5<a<0$ 时左右各一个解；$a\ge 0$ 时只有右支一个解；$a<-5$ 时无解。答案是 $\boxed{\{-5\}\cup [0,+\infty )}$。