2024 年福建预赛

解答

取

其中 $u>0$。因为 $A,B,C$ 在以 $O$ 为圆心的同一圆上，

点 $D$ 是 $A$ 的对径点，而垂心满足 $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$，故在当前坐标下

于是 $D=-H$，而 $M$ 是原点，所以 $M$ 是 $HD$ 的中点，特别地 $H,M,D$ 三点共线。

下面求直线 $EF$。因为 $E,F$ 分别是 $B,C$ 在 $AC,AB$ 上的垂足， $B,C,E,F$ 在以 $BC$ 为直径的圆上；该圆方程为

同时 $A,E,H,F$ 在以 $AH$ 为直径的圆上。展开这个圆的方程并利用（1），得

由（2）、（3）相减，直线 $EF$ 的方程为

题设说明其与 $BC$ 有有限交点，故 $p\ne 0$；令 $y=0$ 得

过 $M,S,T$ 的圆方程为

把 $A=(p,q)$ 代入，左边等于 $p^2+q^2-u^2-sq=0$，其中最后一步使用（1）。所以 $A,S,M,T$ 四点共圆。

最后利用 $S\in EF$。把 $(0,s)$ 代入（4），得

由（1）、（5），

而括号内正是外接圆半径的平方 $R^2$，故